Es sei f : Q3 → Q3 Zeigen Sie, dass f invertierbar ist und geben Sie die Umkehrabbildung an

Question

Aufgabe:

Es sei f : Q3 → Q3 die lineare Abbildung, welche die Standardbasis
e1, e2, e3 wie folgt abbildet:
        (1)                (0)              (0)

e1 → (0)       e2 →(3)      e3 →(0)

      (0)                (5)               (5)



i) Zeigen Sie, dass f invertierbar ist und geben Sie die Umkehrabbildung an.

Answer 1

Hallo

1. Det≠0 oder Zeilen Lin. unabhängig

dann invertierbar, Matrix invertieren kannst du , sonst hilft dir ein Matrizenrechner im net.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Um die Abbildungsmatrix $F$ zu erhalten, schreibst du die Bilder der Basisvektoren einfach als Spalten auf:$$F=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 5 & 5\end{pmatrix}$$Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\ne0$ ist. Da wir hier eine Dreieckmatrix vorliegen haben, ist die Determinante einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen, also gleich $1\cdot3\cdot5=15$. Die Matrix ist also invertierbar.

Die inverse Matrix bzw. die Umkehrabbildung lautet:$$F^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & \frac13 & 0\\[0.5ex]0 & -\frac13 & \frac15\end{array}\right)$$