Schnittpunkt zweier trigonometrischer Funktionen

Question

Aufgabe:

Gleichsetzen zweier Trigonometrischer Funktionen

Problem/Ansatz:

f(x) = 2*sin((π/2)*x) + 3

g(x) = -4*sin((π/4)*x) + 3

Ich würde gerne den Schnittpunkt dieser beiden Funktionen bestimmen, aber komme leider nicht so recht weiter.

3 Auf einer Seite Subtrahieren ist klar, danach war mein Ansatz, die Sinusfunktion einfach zusammenzufassen zu 8*sin((π/4)*x) = 0 und dann mit dem Arkus-Tangens x zu berechnen. Dabei kommt sogar das richtige heraus, mich verwirrt aber, dass

2*sin((π/2)*x) + 4*sin((π/4)*x) dennoch einen anderen Graphen und ein anderes Ergebnis liefert als 8*sin((π/4)*x)

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.2\sin\left(\frac\pi2x\right)+3=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)+3\quad\right|-3$$$$\left.2\sin\left(2\cdot\frac\pi4x\right)=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)\quad\right|\sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi$$$$\left.4\sin\left(\frac\pi4x\right)\cos\left(\frac\pi4x\right)=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)\quad\right.$$Die Sinus-Funktion verschwindet bei allen Vielfachen von \(\pi\). Daher gilt Gleichheit bei$$\frac\pi4x=\mathbb Z\cdot\pi\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\mathbb Z$$allen ganzen Zahlen, die durch \(4\) teilbar sind.

Damit aber nicht genug, denn für \(x\ne4\mathbb Z\) können wir beide Seiten der Gleichung durch die Sinus-Funktion dividieren und erhalten:$$\cos\left(\frac\pi4x\right)=-1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac\pi4x=\pi+2\mathbb Z\pi\quad\Longleftrightarrow\quad x=4+8\mathbb Z$$Da wir für die Division \(x\ne4\mathbb Z\) voraussetzen mussten, kommen keine weiteren Lösungen mehr hinzu.

Die Lösungsmenge enthält also alle Vielfachen von \(4\):$$x=4\mathbb Z\quad\text{bzw.}\quad x=4n\;;\;n\in\mathbb Z$$

Comments

\(\left.2\sin\left(2\cdot\frac\pi4x\right)=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)\quad\right|\sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi\) 

Alles inklusive diesem Rechenschritt verstehe ich leider nicht wirklich. Haben wir bisher noch nicht im Unterricht behandelt, wie heißt diese Regel?

Dass man darauf kommt:

\(\left.4\sin\left(\frac\pi4x\right)\cos\left(\frac\pi4x\right)=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)\quad\right.\)

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Das folgt aus einem der sog. "Additionstheoreme":$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$$Für \(x=y\) gilt dann:$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

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Alles klar.

Die Sinus-Funktion verschwindet bei allen Vielfachen von \(\pi\). Daher gilt Gleichheit bei$$\frac\pi4x=\mathbb Z\cdot\pi\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\mathbb Z$$ 

Könnten Sie mir anschließend noch diesen Schritt erklären? Verstehe nicht, wie bei Vielfachen von Pi dann die Sinus-Funktion(en) verschwinden sollen und wie man daraus auf

\(\left.4\sin\left(\frac\pi4x\right)\cos\left(\frac\pi4x\right)=-4\sin\left(\frac\pi4x\right)\quad\right.\)

\(\frac\pi4x=\mathbb Z\cdot\pi\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\mathbb Z\)

Kommt.

Grüße! ;)

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Die Sinus-Funktion wird \(=0\), wenn ihr Argument ein ganzzahliges Vielfaches von \(\pi\) ist, also:$$\sin(\pm\pi)=0\quad;\quad\sin(\pm2\pi)=0\quad;\quad\sin(\pm3\pi)=0\quad\cdots$$Falls also \(\frac\pi4x\) ein Vielfaches von \(\pi\) ist, kommt auf beiden Seiten der Gleichung \(0\) heraus.

$$\frac{\pi}{4}x=\mathbb Z\cdot\pi\quad\text{bedeutet:}\quad\frac{\pi}{4}x=z\cdot\pi\;\text{mit }\;z\in\mathbb Z$$Diese kleine Gleichung kannst du nach \(x\) umstellen:$$x=\frac4\pi\cdot z\cdot\pi=4z\quad\text{oder kürzer: }\quad x=4\mathbb Z$$

Answer 2

Würdest du es schaffen die Funktionen über eine Wertetabelle zu skizzieren?

~plot~ 2*sin(pi/2*x)+3;-4*sin(pi/4*x)+3;[[-1|9|-2|8]] ~plot~