Bestimmen Sie den Spurpunkte der Gerade gk mit der x1 x2 Ebene in Abhängigkeit von k.

Question

Hallo,

kann mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen?

Was muss ich bei den einzelnen Aufgaben machen?

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(-1/1/2) und B(5/4/7) sowie die Geradenschar gk mit

gk: vektor x= (0/0/2)+t*(k/2/2k) mit keR.

a) die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B. Für welchen Wert von k verläuft gk orthogonal zu h?

b) Untersuchen Sie, ob es eine Gerade gk gibt, die parallel zur x2 Achse verläuft. Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar parallel zur x1 Achse und auch keine parallel zur x3 Achse verläuft.

c) Gibt es einen Wert K, für den sich die Gerade gk und die Gerade h aus Teilaufgabe a in einem Punkt S schneiden? Falls ja, bestimmen Sie die Koordinaten von S.

d) Bestimmen Sie den Spurpunkte der Gerade gk mit der x1 x2 Ebene in Abhängigkeit von k.

Bin sehr dankbar für hilfreiche Antworten.

VG

Lilaaaa

Answer 1

Hallo,

a) die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B. Für welchen Wert von k verläuft gk orthogonal zu h?

sie verlaufen senkrecht, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 ist - also:$$\vec{AB}=\begin{pmatrix}6\\ 3\\ 5\end{pmatrix}, \quad \vec r_g=\begin{pmatrix}k\\ 2\\ 2k\end{pmatrix} \\ \vec{AB} \perp \vec r_g \implies 6k+6+10k=0 \implies k=-\frac38$$

b) Untersuchen Sie, ob es eine Gerade gk gibt, die parallel zur x2 Achse verläuft. Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar parallel zur x1 Achse und auch keine parallel zur x3 Achse verläuft.

mit \(k=0\) verläuft \(g_{k=0}\) parallel zur \(X_2\)-Achse. Und da die zweite Koordinate des Richtungsvektors von \(g_k\) immer \(\ne 0\) ist, kann \(g_k\) auch nie parallel zur \(X_1\)- oder \(X_3\)-Achse verlaufen.

c) Gibt es einen Wert K, für den sich die Gerade gk und die Gerade h aus Teilaufgabe a in einem Punkt S schneiden? Falls ja, bestimmen Sie die Koordinaten von S.

Bringe beide Geraden zum Schnitt:$$\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\ 3\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}k\\ 2\\ 2k\end{pmatrix}$$Die ersten beiden Zeilen führen zu folgendem Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}6& -k\\ 3& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix} \\ \implies \begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix} = \frac1{3k-12}\begin{pmatrix}-2& k\\ -3& 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}= \frac1{3k-12}\begin{pmatrix}-2-k\\-9\end{pmatrix}$$Einsetzen in die dritte Zeile \(5s=2kt\) gibt$$5(-2-k)=-18k\\ \implies 13k = 10 \implies k=\frac{10}{13}$$Damit ergibt sich ein Wert für \(s\) von \(s=2/7\) also $$S= g_{AB}\left(s=\frac27\right) = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + \frac27\begin{pmatrix}6\\ 3\\ 5\end{pmatrix}=\frac17\begin{pmatrix}5\\ 13\\ 24\end{pmatrix}$$und zur Kontrolle das ganze in Geoknecht3D.

d) Bestimmen Sie den Spurpunkte der Gerade gk mit der x1 x2 Ebene in Abhängigkeit von k.

In der \(X_1X_2\)-Ebene ist \(x_3=0\):$$2+2kt=0 \implies t = -\frac1k$$und der Spurpunkt ist$$g_k\left(t=-\frac1k\right) = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} -\frac1k\begin{pmatrix}k\\ 2\\ 2k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -2/k\\ 0\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Answer 2

h: \( \vec{x}= \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 6\\3\\5 \end{pmatrix} \)

gk orthogonal zu h? Wenn das Skalarprodukt von \(  \begin{pmatrix} 6\\3\\5 \end{pmatrix} \)

und \(  \begin{pmatrix} k\\2\\2k \end{pmatrix} \) den Wert 0 hat:

6k+6 + 10k=0

            16k=-6

              k = -3/8.