Berechnung von ein paar Grenzwerten

Question

Bin gerade beim Üben von der Berechnung von Grenzwerten und verstehe nicht, wie ich bei ein paar vorgehen soll.

Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob die Regel von l’Hôspital anwendbar ist und berechnen Sie -
wo möglich damit, sonst mit anderen Methoden - die folgenden Grenzwerte:

(Zur Übersicht nummeriert)

1. \( \lim\limits_{x\to0} \frac{x^4}{e^x} \)

Hier geht ja der Zähler und Nenner gegen ∞, also l’Hôspital. Jedoch dann lautet es ja: 4*x^3/e^x. Hier gehen beide wieder gegen ∞. Was muss man hier machen?

2. \( \lim\limits_{x\to0} 1/(e^x-1) - 1/x \) Hier würde ja der Bruch vor dem Minus gegen 0 gehen und der danach gegen 1,

denke ich. Leider weiß ich nicht was ich damit anfangen soll.

3. \( \lim\limits_{x\to0}  (1+ \arctan x)^{1/x} \)
Solch einen Fall habe ich auch noch nie berechnet.

4.\( \lim\limits_{x\to\infty} (x - \sin x)/(x - \cos x) \)

Was mir hierzu einfällt: X geht gegen unendlich, während sin und cos ja gegen eine Zahl gehen.
Weiter habe ich es jedoch nicht verstanden.

Comments

bei a geht der Nenner gegen 1 und der Zähler gegen 0, also kannst du da kein l'Hospital nutzen

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Hier kannst du \(x=0\) direkt einsetzen:$$\lim\limits_{x\to0} \frac{x^4}{e^x}=\frac{0^4}{e^0}=\frac01=0$$

zu 2) Hier würde ich den Ausdruck zunächst etwas umformen:$$\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac1x\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{x(e^x-1)}-\frac{e^x-1}{x(e^x-1)}\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x-e^x+1}{xe^x-x}$$Nun können wir L'Hospital 2-mal anwenden, da Zähler und Nenner beide \(0\) ergeben:$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-e^x}{e^x+xe^x-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-e^x}{e^x+e^x+xe^x}=\frac{-1}{1+1+0}=-\frac12$$

zu 3) Hier nutzen wir \(\arctan(x)\approx x\) für \(x\ll1\)$$\lim\limits_{x\to0}\left(1+ \arctan x\right)^{1/x}=\lim\limits_{x\to0}\left(1+ x\right)^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x}=e$$

zu 4) Hier kürzen wir den Bruch mit \(x\):$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x-\cos x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\cos x}{x}}=\frac{1-0}{1-0}=1$$

Comments

Das hilft mir wirklich sehr. Vielen Dank dir :)

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Bei 3) benutzt T die Näherung \(\arctan(x) \approx x\). Und berechnet damit den Grenzwert.

Ich mache das mal bei 2): \(\exp(x)\approx 1+x\). Damit

$$\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0$$

Gleiche Methode, falsches Ergebnis?