Kegel in Halbkugel einbeschrieben

Question

Aufgabe:

Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird?

Problem/Ansatz:

Ich versuche es die ganze zeit zu lösen aber es geht nicht ,ich versteh es nicht wie ich das machen soll. Kann mir das wär bitte schrittweise erklären?

in

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ein auf der Spitze stehender Drehkegel

Wie steht denn die Halbkugel? Auf der flachen Seite oder mit der flachen Seite oben?

Answer 1

Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird?

Kegel: V=\( \frac{1}{3} \)*π*\( r^{2} \)*h

Kegel in der Zeichnung:   \( h^{2} \) +\( u^{2} \) =\( R^{2} \)  → h=\( \sqrt{R^2-u^2} \)

V(u)=\( \frac{1}{3} \)*π*\( u^{2} \)*\( \sqrt{R^2-u^2} \)

V´(u)=... u.s.w.

Comments

Genau das hab ich auch gemacht aber ich habe es auf u umgeformt und das ist R^2 - h^2= r^2

Ich habe es dann in volumen eingesetzt und habe die zielfunktion vereinfachert  hab dann v= R^2h-h^3 bekommen und habe dann die ableitung gemacht v‘(h) = R^2-3h^2 und genau hier weiss ich nicht mehr wie es weiter geht

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\( V(u)=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{2} \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}} \)
\( V \cdot(u)=\frac{2}{3} \pi \cdot u \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}}+\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{2} \cdot \frac{-2 u}{2 \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}}} \)
\( V \cdot(u)=\frac{2}{3} \pi \cdot u \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}}-\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{2} \cdot \frac{u}{\sqrt{R^{2}-u^{2}}} \)
\( \frac{2}{3} \pi \cdot u \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}}-\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{2} \cdot \frac{u}{\sqrt{R^{2}-u^{2}}}=0 \mid \cdot \sqrt{R^{2}-u^{2}} \)
\( \frac{2}{3} \pi \cdot u \cdot\left(R^{2}-u^{2}\right)-\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{3}=0 \)
\( \frac{2}{3} \pi \cdot u \cdot\left(R^{2}-u^{2}\right)=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot u^{3} \mid \cdot 3 \)
\( 2 \pi \cdot u \cdot\left(R^{2}-u^{2}\right)=\pi \cdot u^{3} \mid: \pi \)
\( 2 u \cdot\left(R^{2}-u^{2}\right)-u^{3}=0 \)
\( u \cdot\left(2 R^{2}-u-u^{2}\right)=0 \)
\( u_{1}=0 \)
\( 2 R^{2}-u-u^{2}=0 \) (mit Wolfram)
\( u=\frac{1}{2} \cdot\left(\sqrt{8 R^{2}+1}-1\right) \)