Lineare Abbildung, Linear surjektiv...

Question

Aufgabe:

(6) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}(x+y) \\ \frac{1}{2}(x+y)\end{array}\right) \)
(7) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad f\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha) x-\sin (\alpha) y \\ \sin (\alpha) x+\cos (\alpha) y \\ z\end{array}\right) \)

Problem:

Schaffe es nicht bei den beiden Linearität und injektiv, surjektiv und bijektivität zu bestimmen

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Abbildungen ist linear, weil man sie als Matrix-Gleichungen schreiben kann:$$f\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}\frac12 & \frac12\\[1ex]\frac12 & \frac12\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$Allerdings ist sie nicht injektiv, denn \(\binom{2}{0}\mapsto\binom{1}{1}\) und \(\binom{0}{2}\mapsto\binom{1}{1}\). Es gibt also zwei verschiedene Argumente, die auf dasselbe Ziel abbilden. Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, da die \(x\)- und die \(y\)-Komponente der Funktionswerte immer gleich sind, wird z.B. das Element \(\binom{1}{0}\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^2\) nicht erreicht.

Die zweite Abbildung ist ebenfalls linear, denn es gibt eine Matrixdarstellung:$$f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}\cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Die Determinante der Abbildungsmatrix \((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=1\) ist ungleich Null, daher ist die Abbildungsmatrix invertierbar bzw. die Abbildung selbst bijektiv.