Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte.

a) \(\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} \)

b) \(\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

Comments

Fehler bei a , \(\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} \)

bei b ist\(\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

Answer 1

\( \frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} = \frac{3x^2+x^3}{x^{2}+4x^{3}} =\frac{3+x}{1+4x} \)  (für x≠0)

Also Grenzwert 3.

Answer 2

a) Mit l´Hospital:

\(\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} \)=\(\lim\limits_{x->0}\frac{3*(1+x)^{2}-3}{2x+12x^{2}} \)=\(\lim\limits_{x->0}\frac{6*(1+x)}{2+24x} \)=3

b)\(\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x} \)=0

Polstellen:

\( \sqrt{x} \) -x=0

\( \sqrt{x} \)=x|^2

x=\( x^{2} \)

\( x^{2} \)-x=0

x*(x-1)=0

x₁=0 (in rot)

x₂=1 (in blau)

Ist nicht eher so die Aufgabe gestellt ?

1.) \(\lim\limits_{x->0+}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x} \)→-∞

2.) \(\lim\limits_{x->1+}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x} \)→∞

\(\lim\limits_{x->1-}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x} \)→-∞

Comments

danke für die Antwort, ich hatte Fehler bei der Aufgabe ,das ist die richtige Aufgabe

a) \(\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} \)

b) \(\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

gibts es eine andere rechnung? ich habe l'Hospital nie gehabt

---

a)\(\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} \)

\( \frac{x^3+3x^2}{4x^3+x^2} \) =\( \frac{x^2*(x+3)}{x^2*(4x+1)} \)=\( \frac{(x+3)}{(4x+1)} \)

Nun ist der Grenzwert von x→0     3

b) \(\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

Da kenne ich keinen anderen Weg als über l´Hospital