Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte.

a) $\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}}$

b) $\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$

Comments

Fehler bei a , $\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}}$

bei b ist$\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$

Answer 1

$\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}} = \frac{3x^2+x^3}{x^{2}+4x^{3}} =\frac{3+x}{1+4x}$  (für x≠0)

Also Grenzwert 3.

Answer 2

a) Mit l´Hospital:

$\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}}$=$\lim\limits_{x->0}\frac{3*(1+x)^{2}-3}{2x+12x^{2}}$=$\lim\limits_{x->0}\frac{6*(1+x)}{2+24x}$=3

b)$\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x}$=0

Polstellen:

$\sqrt{x}$ -x=0

$\sqrt{x}$=x|^2

x=$x^{2}$

$x^{2}$-x=0

x*(x-1)=0

x₁=0 (in rot)

x₂=1 (in blau)

Ist nicht eher so die Aufgabe gestellt ?

1.) $\lim\limits_{x->0+}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x}$→-∞

2.) $\lim\limits_{x->1+}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x}$→∞

$\lim\limits_{x->1-}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-x}$→-∞

Comments

danke für die Antwort, ich hatte Fehler bei der Aufgabe ,das ist die richtige Aufgabe

a) $\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}}$

b) $\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$

gibts es eine andere rechnung? ich habe l'Hospital nie gehabt

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a)$\lim\limits_{x->0}\frac{(1+x)^{3}-(1+3x)}{x^{2}+4x^{3}}$

$\frac{x^3+3x^2}{4x^3+x^2}$ =$\frac{x^2*(x+3)}{x^2*(4x+1)}$=$\frac{(x+3)}{(4x+1)}$

Nun ist der Grenzwert von x→0     3

b) $\lim\limits_{x->4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$

Da kenne ich keinen anderen Weg als über l´Hospital