Steckbriefaufgabe. Ich habe eine Parabel 4-ten Grades?

Question

Hallo

Ich habe eine Aufgabe, dabei geht es um eine Parabel 4-ter Ordnung.
Die hat einen Punkt P und einen Punkt Q, dieser Punkt liegt an einer Waagerechten Tangente.

Wieviel Koeffizienten hat eine Parabel 4-ter Ordnung/Grades?

Wieviel Gleichungen? Brauche ich jetzt 4 oder 5 Gleichungen?

Bilde ich die Gleichungen aus beiden Punkten oder nur aus einem?

Gruß

Answer 1

Wenn du nichts über die Parabel weisst. Keine Angaben zur Symmetrie ... hast, brauchst du 5 Gleichungen. Streng nach Definition, haben Parabeln aber den Grad 2! Beim Grad 4 spricht man von einem Polynom.

Bilde ich die Gleichungen aus beiden Punkten oder nur aus einem?

Benutze jede Angabe, die du hast für eine Gleichung. Du brachst die beiden Punkte in der Regel nicht kombiniert zu einer Gleichung zu verrechnen.

Answer 2

  eine Funktion 4.Grades hat 5 Koeffizienten.

  Du hast 3 Aussagen ( 3 Gleichungen ). Dies ist vielleicht ein bißchen
wenig. Gib mal deine Punkte an.

  mfg Georg

Answer 3

Die Gleichung einer "Parabel" 4. Ordnung ist im Allgemeinen eine Polynomfunktion mit fünf Koeffizienten und sieht also so aus:

f ( x ) = a x ⁴ + b x ³ + c x ² + d x + e

Zur eindeutigen Bestimmung von fünf Koeffizienten braucht man fünf Gleichungen.

Aus den Angaben in deiner Aufgabenstellung kann man aber nur 3 Gleichungen aufstellen, nämlich mit dem Punkt

P ( x_p | y_p ) :

y_p = a x_p⁴ + b x_p³ + c x_p² + d x_p + e

mit dem Punkt Q ( x_q | y_q ) :

y_q = a x_q⁴ + b x_q³ + c x_q² + d x_q + e

und mit der Information, dass der Graph von f ( x ) an der Stelle x_q eine waagerechte Tangente hat:

f ' ( x_q) = 4 a x_q³ + 3 b x_q² + 2 c x_q + d = 0

Wenn nicht mehr Informationen über f ( x ) oder die Punkte bekannt sind, dann kann man mit diesen 3 Gleichungen die 5 Koeffizienten und somit die Funktionsgleichung nicht eindeutig bestimmen.

Zusätzliche Informationen, die durchaus etwas versteckt in der Aufgabenstellung stehen können, wären z.B. Angaben über die Lage des Graphen (symmetrisch zur y-Achse) oder über die Art der Punkte (Scheitelpunkt, Nullstelle usw.). Schau doch mal, ob es solche Informationen in deiner Aufgabenstellung gibt oder schreibe die komplette Aufgabenstellung hier hinein.

Comments

Einbezüglich der y-Achse ist die Parabel symmmetrisch.

Inwiefern kann man damit noch zusätzlich eine Gleichung aufstellen?

Gruss

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Nun, der Funktionsterm einer zur y-Achse symmetrischen "Parabel" enthält ausschließlich Potenzen mit  geradzahligen Exponenten. Dadurch reduziert sich also die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion 4. Ordnung auf:

f ( x ) = a x ⁴ + c x ² + e

Nun hat man also nur noch die drei Koeffizienten a, b und c zu  bestimmen - und dazu genügen drei Gleichungen!

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Hi,

wie würden denn die Funktionen zu den Punkten P(6/3) und Q(3/6) aussehen wenn diese gekürzte Parabelgleichung zur Geltung käme?

G

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Setze die Koordinaten in die Gleichungen ein, die ich oben angegeben habe. Wenn du sauber arbeitest, erhältst du ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den Parmmaetern a, b, und c. Löse dieses und setze die erhaltenen Werte der Parameter in die Gleichung

f ( x ) = a x ⁴ + c x ² + e

ein. Dann hast du die gesuchte Gleichung.

Wenn du es nicht schaffst, kümmere ich mich später noch einmal darum ,jetzt muss ich erst einmal pausieren ...