Umformung, Vereinfachung, Wurzelausdruck

Question

ich habe ein Problem mit folgender Umformung:

Und zwar wird aus folgendem Ausdruck:

r=√(R^2-2Rσsinθcos(φ-μ)+σ^2 )

dieser Ausdruck, da gelten soll R≫σ

r ≈R-σsinθcos(φ-μ)

Leider habe ich keine Idee wie das geht...

Comments

Wie hängen denn \(\theta, \mu\) und \(\varphi\) zusammen?
Ein bisschen mehr Kontext wäre wohl nützlich !

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Hallo

auf die θ,μ und \(\varphi\) kommt es nicht an, da |sin(..)*cos(..)|<1

lul

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OK. Da steht aber etwas von Umformung und nicht
von einer Näherung. Deswegen hätte mich der Kontext schon
interessiert.

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Aber da steht ja keine Umformung, sondern eine Näherung? mit r ≈

lul

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lul, du hast Recht ! Im Alter werden die Augen halt
immer schlechter !
LG ermanus

Answer 1

Hallo

für kleine x kann man \( \sqrt{1-x} \) durch  das 1. Taylorpolynom 1-x/2 ersetzen. (oder einfach die Funktion durch ihre Tangente in  x=0 ersetzen

hier wird zu erst R^2 aus der Wurzel gezogen, dann hast du \( R*\sqrt{1-2σ/Rsinθcos(φ-μ)-σ^2/R^2 } \) dann wegen σ/R<1 kann man σ^2/R^2 ganz vernachlässigen und 2σ/Rsinθcos(φ-μ) ist das kleine x in der Formel oben .

Physiker benutzen solche linearen Näherungen  gerne, weil man die linearen Funktionen besser kennt und übersehen kann.

Vergleiche mein Bild, grün \(f(x)= \sqrt{1-x} \) rot die Tangente in x=0  t(x)=1-x/2

bis x=0,2 sieht man kaum einen Unterschied,

Gruß lul