In welcher Reihe ist die Zahl 171

Question

Hallo, das ist eine pyramide mit ungeraden Zahlen. Die Frage ist, in welcher reihe ist die zahl 171. Meine frage ist es, ob man es mit dem Gauß rechnen kann.

Comments

Was soll "in welcher reihe ist die zahl 171." heißen?

Geht es um eine Zeilensumme, ein Zeilenprodukt, Eine Summe entlang der Linien, ein Produkt entlang der Linien?

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Ich gehe davon aus, es wird gefragt in welcher Zeile von oben die ungerade Zahl 171 sein wird, wenn man die Zahlenpyramide weitermacht bis man bei 171 angekommen ist.

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Genau das was döschwo gesagt hat. Sorry für die schlechte vormulierung.

Answer 1

Hallo,

Du hast natürlich die Möglichkeit, den Baum bis 171 einfach weiter zu zeichnen. Es geht aber auch schlauer.

Betrachte nur die Zahlen am Anfang jeder Zeile. Die Differenz zwischen zwei auf einander folgenden Zahlen steigt immer um 2 an. Was ja auch Sinn macht, weil sich in jeder Zeile eine ungerade Zahl mehr befindet als in der Vorgängerzeile.

D.h. es handelt sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung, und diese lässt sich als quadratische Funktion darstellen. Man wähle einen Ansatz:$$y(k) = ak^2 + bk + c$$wobei \(k\) die Zeilennummer ist und \(y(k)\) die Zahl am Anfang. Die ersten drei kann man oben ablesen, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:$$a+b+c= 1\\ 4a+2b+c = 3 \\ 9a+3b + c = 7$$Daraus folgen die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\). Es ist $$a=1,\quad b=-1, \quad c=1 \\y(k) =k^2-k+1$$Und jetzt rechnet man das größte (ganzzahlige) \(k\) aus, bei dem 171 noch nicht erreicht wird:$$\begin{aligned}k^2-k+1 &\lt 171 \\ k^2 - k &\lt 170\\ k^2 - k + \frac 14 - \frac 14 &\lt 170 \\ \left(k - \frac12\right)^2&\lt 170,25 \\ k &\lt \sqrt{170,25} + \frac12 \approx 13,5\\ \implies k &= 13 \end{aligned}$$Kontrolle: \(y(13)=157\) und \(y(14)=183\), und es ist \(157 \le 171 \le 183\) und die 171 steht an 8'er Stelle in der Zeile.

Gruß Werner

Comments

Du fragtest:

Meine frage ist es, ob man es mit dem Gauß rechnen kann.

Die Antwort ist: Ja! Es ist aber nicht unbedingt einfacher, als das Vorgehen oben. Um es mit der Gauß'schen Summenformel zu berechnen tausche jede Zahl durch ihre Position in der Folge der ungeraden Zahlen - das heißt:$$a_1=1, \quad a_2=3, \quad a_3=5, \quad a_4=7, \space \dots$$oder allgemein$$a_i = 2i-1 \implies i = \frac12(a_i + 1)$$und nun betrachtet man nur noch die Indizes \(i\) und schaut sich die letzten(!) Indizes in jeder Zeile an:$$i=1 \\ i=2, \quad 3\\i=4,\quad 5, \quad 6 \\ i=7,\quad 8, \quad 9, \quad 10$$Und hinten steht \(1,\,3,\,6,\,10,\,15,\dots\), was den sogenannten Dreieckszahlen entspricht und damit der Gauß'schen Summenformel.

Der letzte Index \({i=l(k)}\) in der \(k'\)ten Zeile ist also$$l(k)= \frac k2(k+1)$$und nun sucht man den kleinsten Wert für \(k\) für den gilt $$l(k) = \frac k2(k+1) \ge \frac12(171+1) = 86 \\ \implies k \ge \approx 12,6 \\\implies k=13$$

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Wieso kommt in dieser Zeile 3 raus?

\( 4 a+2 b+c=3 \)

also ich setz doch für k 2 ein oder? und k steht für die 2  zeile

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also ich setz doch für k 2 ein oder? und k steht für die 2  zeile

das ist richtig: \(a\cdot 2^2+b\cdot 2 + c = \dots\)

Wieso kommt in dieser Zeile 3 raus?

weil die erste Zahl in der zweiten Zeile eine 3 ist (s. Bild).

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vorne : n^2-n+1 ≤ n^2
hinten : n^2+n-1 ≥ n^2

13^2 < 171 < 14^2

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noch 'ne Lösung:

die 'mittlere Zahl' ist immer die Quadratzahl \(k^2\) der \(k'\)ten Zeile. Das gilt auch dann, wenn \(k\) gerade ist. Zum Beispiel in der vierten Zeile liegt \(k^2=16\) zwschen der 15 und der 17.

Auf \(13^2=169\) folgt als nächste ungerade Zahl die \(171\). D.h. die 171 liegt in der 13'ten Zeile rechts neben der Mitte.

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vielen dank für die ausführliche antwort

Answer 2

So sollte es weitergehen:

Das Addieren der gewünschten Zahlen überlasse ich dir.

Comments

sehr lustig. meine frage ist ob man es iwie mathematisch schneller zur lösung kommt. Die pyramide weiter zu machen würde ich nicht als mathematisch bezeichnen.

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Deine Aufgabe sollte korrekt lauten:

Die Zahlenpyramide werde fortgesetzt, wie angefangen. In der wievielten Zeile steht dann die Zahl 171? Wie findet man das heraus, ohne alle Zahlen bis 171 aufzuschreiben?

Hättest du das so geschrieben, hätte ich keinen Unsinn geantwortet.

Answer 3

Hallo,

die erste Zahl in jeder Zeile n kann man so ausrechnen:

1+2+4+6+8+...+d=1+2·(1+2+3+4+...+(n-1))=1+2·(n-1)·n/2=n²-n+1

n²-n+1<= 171 <= (n+1)² -(n+1) +1= n²+2n+1-n-1+1=n²+n+1

171=169+2=13²+2

13²-13+1=157<171

13²+13+1=183>171

171 steht in der 13. Zeile.