Hotelzimmer - lohnt sich eine Überbuchung?

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können Sie mir bitte bei folgender Teilaufgabe d) helfen?

Ein Hotel hat für 180 verfügbare Zimmer 200 Buchungen angenommen, weil die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast tatsächlich anreist, nur 90% beträgt.

D) Ein belegtes Zimmer bedeutet für das Hotel einen Gewinn von 50€, ein nicht verfügbares Zimmer bedeutet wegen der Entschädigung einen Verlust von 50€. Mit welchem Gewinn kann man rechnen, wenn 200 Buchungen vorliegen?

In den Lösungen ist folgende Rechnung angegeben: \( \sum\limits_{n=1}^{180}{(n} \) * 50 * B_{200; 0,9}(k)) + \( \sum\limits_{n=1}^{20} \) ((9000 - k * 50) * B_{200; 0,9}(180 + k)) = 8831,45.

Wir kennen allerdings noch nicht die Rechnung mit Summe und berechnen stattdessen alles einzeln. Folglich wäre die Rechnung zu lang und wir müssten jeden Fall einzeln eingeben. Gibt es dahingehend einen "einfacheren" Weg, wie man auf das Ergebnis kommen könnte (z.B. über Graphs)?

Vielen Dank!

Answer 1

Die gegebene Summenformel bildet genau das ab, wie der Erwartungswert definiert wurde. Als die Summe aller Gewinne für alle Realisierungen der Zufällsgröße X, gemittelt mit deren Auftrittswahrscheinlichkeit.

Das einzeln zu berechnen geht zwar auch, ist aber bei der Summierung von 201 Summanden sehr zeitintensiv. Daher können moderne Taschenrechner auch mit der Summe arbeiten. Die Summen-Notation zu verstehen ist eigentlich nicht sehr schwer, solange du jeden Summanden einzeln notieren könntest, kannst du auch den Summen-Term notieren denke ich.

Eine einfache Formel gibt es hier, denke ich nicht.

Comments

Vielen herzlichen Dank.

Ich habe mich gestern auch nochmal intensiv mit der Summe -Notation auseinandergesetzt. Jetzt verstehe ich auch die Aufgabe.

---

Wenn du das verstanden hast, dann könntest du jetzt auch berechnen, wie der erwartete Gewinn bei 199 bzw. 201 angenommenen Buchungen ist. Da beide Werte unter dem erwarteten Gewinn bei 200 angenommenen Buchungen liegen, könnte man annehmen, dass bei 200 auch das Maximum liegt.