Wann lohnt sich die Integration durch Substitution?

Question

Ich hatte beispielsweise die Funktion 5/x² und da hatte ich überlegt, ob sich die Integration durch Substitution lohnen würde? Unabhängig davon, ob es sinnvoll wäre, sollte doch auch durch die Substitution die richtige Stammfunktion rauskommen oder? Ich bin aber leider nicht weitergekommen:

Integral 5/x²

z= x²

z´= 2x

dx = dz/2x

Integral 5/z * dx = Integral 5/z * dz/2x wie soll man jetzt bitte weitermachen? 5 Integral 1/z * dz/2x ? LG

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das natürlich direkt integrieren:

$$\int\frac{5}{x^2}\,dx=\int 5x^{-2}\,dx=\frac{5}{-1}x^{-1}+\text{const.}=-\frac{5}{x}+\text{const.}$$Oder auch durch deine Substitution. Dabei musst du darauf achten, im Differential die alte Variable druch die neue zu ersetzen.

$$z:=x^2\;\Rightarrow\;\frac{dz}{dx}=2x\;\Rightarrow\;dx=\frac{1}{2x}\,dz=\frac{1}{2\sqrt z}\,dz$$$$\int\frac{5}{x^2}\,dx=\int\frac{5}{z}\frac{1}{2\sqrt z}\,dz=\int\frac{5}{2}z^{-3/2}\,dz=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{-1/2}z^{-1/2}+\text{const.}$$$$=-5\frac{1}{\sqrt z}+\text{const.}=-5\frac{1}{\sqrt{x^2}}+\text{const.}=-\frac{5}{x}+\text{const.}$$

Integration durch Substitution lohnt sich immer dann besonders, wenn die Ableitung von der Substitutionsvariablen als Faktor auftaucht. Weil das alte Differential \(dx=\frac{dz}{z'(x)}\) ist, kürzt sich dann die Ableitung \(z'(x)\) raus. In deinem Beispiel hier, hat sich die Substitution nicht sonderlich gelohnt ;)

Comments

Wobei natürlich fraglich ist ob jemand der 5/x^2 nicht direkt als 5·x^(-2) schreiben kann, warum ihm das plötzlich für 5/z·1/(2·√z) = 5/(2·z·√z) gelingen sollte.

Ich hege da meine Zweifel.

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Deine Zweifel sind berechteigt. Ich vermute, genau deswegen hat mistaketwo die Frage gestellt. Er hat selbst festgestellt, dass die Substitution in seinem Fall eher hinderlich ist.

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Meine Lesart : 
m. beherrscht die Integration mittels Potenzregel sehr wohl.
Zum Üben der Substitutionsregel und um zu sehen, ob sie eventuell vorteilhaft sein könnte, wird folgerichtig ein Beispiel gewählt, anhand dessen sich das erzielte Ergebnis überprüfen lässt, im vorliegenden Fall eben 1/x^2.
Leider kommt es aufgrund der nicht zu Ende geführten Substitution (genau danach wurde dann gefragt) nicht zu dem angestrebten Vergleich.
Es war nie m.s Intention, z^-1,5 zu integrieren.

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1) Kann ich, wenn ich ein bestimmtes Integral aufleiten soll, die Intervallgrenzen weglassen und dann wenn ich die Aufleitung habe die einfach wieder einsetzen?

2) Wie entsteht aus 2x = 2√z ?

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1) Kann ich, wenn ich ein bestimmtes Integral aufleiten soll, die Intervallgrenzen weglassen und dann wenn ich die Aufleitung habe die einfach wieder einsetzen?

Du kannst natürlich zunächst durch das unbestimmte Integral die Stammfunktionen bestimmen und danach das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung bestimmen.

Ich bestimme aber eine Stammfunktion direkt, dazu braucht man ja kein unbestimmtes Integral.

2) Wie entsteht aus 2x = 2√z ?

x^2 = z → x = √z

x kann also durch √z substituiert werden.

So wie es dort steht solltest du dich damit aber eh nicht befassen. Weil das Umschreiben in eine Potenz zu verhindern nur um einen noch schwierigeren Ausdruck in eine Potenz umzuschreiben ist meiner Meinung nach Unsinn.

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Ja, das sah ziemlich kompliziert aus... Wann benutzt man die Partielle Integration und wann die Substitutionsmethode?

Answer 2

5/x^2 = 5*x^(-2)

Das lässt sich leicht integrieren. :)

Comments

Das war ein Denkanstoß, der genügen sollte, wenn man die Formel für einfache Integrale kennt. x^n wird zu ...

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Hier mal die Frage, um die es eigentlich geht:

Ich hatte beispielsweise die Funktion 5/x² und da hatte ich überlegt, ob sich die Integration durch Substitution lohnen würde? Unabhängig davon, ob es sinnvoll wäre,...

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Und die Frage in der Überschrift lautet:

Wann lohnt sich die Integration durch Substitution?

Hier lohnt sie sich also nicht. Integration via Potenzregel ist einfacher.

Bei Brüchen lohnt die Substitution unter anderen, wenn man die Ableitung des Nenners als Faktor im Zähler auftaucht.

Bei Brüchen wendet man auch häufig die Partialbruchzerlegung an. Das ist hier aber unnötig, weil man schon einen Bruch der Form a/x^n hat.

Bei diesen darf man gerne die Potenzregel benutzen.

Answer 3

Wann benutzt man die Partielle Integration und wann die Substitutionsmethode?

Partielle Integration nennt man auch Produktintegration, weil damit Produkte Integriert werden.

Achtung. Hier wird nicht direkt eine Stammfunktion gefunden. Man sorgt zunächst das das Produkt durch integrieren eines Faktors und differenzieren des anderen Faktors ein einfacheres Integral gibt.

Sehr oft ist ein Faktor dabei eine Lineare Funktion und der andere Faktor eine e-, ln- oder trigonometrische Funktion.

Substitution benutzt man oft dort wo zum Ableiten die Kettenregel Anwendung finden würde.

Man kann durchaus auch mehrere Methoden probieren. Auch die früheren Mathematiker haben manchmal einfach mehrere Methoden probiert. Wenn ich jetzt sagen würde du sollst ln(x) integrieren dann müsstest du vermutlich auch erstmal probieren.