Zeige, dass dann der Grenzwert existiert, und berechne ihn.

Question

Aufgabe:

(a) Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sei in \( a \in \mathbb{R} \) differenzierbar. Zeige, dass dann der Grenzwert
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h} \)
existiert, und berechne ihn.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir helfen?? und Danke im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Wir formen den Bruch vor der Grenzwertbildung zunächst etwas um:$$\phantom{=}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\frac{f(a+h)\,\overbrace{-f(a)+f(a)}^{=0}\,-f(a-h)}{2h}$$$$=\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{2h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}-\frac{f(a-h)-f(a)}{2h}$$$$=\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{2\cdot(-h)}$$

Wenn der Grenzwert$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\eqqcolon f'(a)$$existiert, ist er gleich der Ableitung \(f'(a)\) und der links- und der rechtseitige Grenzwert sind gleich (per Definition des Grenzwertes):$$\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$Knüpfen wir damit an unsere obere Rechnung an, heißt das:

$$\phantom{=}\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{2\cdot(-h)}\right)$$$$=\frac12\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac12\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac12f'(a)+\frac12f'(a)=f'(a)$$

Answer 2

Der Grenzwert ist f'(a).

\( \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h} \) ist nichts anderes als \( \frac{f((a-h)+2h)-f(a-h)}{2 h} \)

In dieser Form ist es die Formel für f'(a-h). Und da h gegen 0 geht ...