Zeigen Sie, dass in einer Gruppe nicht nur x * x^-1 = 1 gilt, sondern auch x^-1 * x = 1

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass in einer Gruppe nicht nur x * x^-1 = 1 gilt, sondern auch x^-1 * x = 1

Betrachten sie als Tipp:

Text erkannt:

\( \left(x^{-1} \cdot x \cdot x^{-1} \cdot x\right)\left(x^{-1} \cdot x\right)^{-1} \)

Die Lösung habe ich von meinem Lehrer aber ich verstehe sie nicht...

(x^-1 * x * x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1

(x^-1 * 1 * x) * (x^-1 * x)^-1

(x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1

              1

Answer 1

Vermutlich habt ihr ja das Inverse in einer Gruppe

so definiert, dass gelten muss   x * x^-1 = 1.

Dann war der Tipp: Rechne den folgenden

Term aus :

(x^-1 * x * x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1

wegen der Assoziativität gilt

=(x^-1 * (x * x^-1) * x) * (x^-1 * x)^-1

wegen x * x^-1 = 1 gilt also
= (x^-1 * 1 * x) * (x^-1 * x)^-1

Multiplikation mit 1 kann man weglassen:
= (x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1

Multiplikation der Klammer mit ihrem Inversen gibt 1, also
=              1.

Du kannst also sagen: Der im Tipp angegebene Term ist 1:

(x^-1 * x * x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1    = 1

Wenn du etwas anders klammerst

=(x^-1 * x) * (x^-1 * x) * (x^-1 * x)^-1 = 1

Die letzten beiden Klammern sind das Produkt eines Elementes

mit seinem Inversen

=(x^-1 * x) * 1 = 1 

=x^-1 * x = 1    q.e.d.

Comments

Habe ich damit also die Frage beantwortet wenn ich den Tipp ausgerechnet habe?

Kann man noch was als Schlusssatz schreiben?

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Die letzte Gleichung ist doch das, was man zeigen soll.

Da ist m.E. kein Schlusssatz mehr nötig.