Beweis zum Rang schiefsymmetrischer Matrizen.

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe eine Verständnisfrage und hoffe mir kann jemand diese beantworten.

Ich soll zeigen, dass schiefsymmetrische Matrizen im ℝ^nxn bei einem negativen n einen Rang kleiner als n haben. Also sei A eine schiefsymmetrische Matrix. Dann gilt ja A^T = -A. Mein Ansatz war:

det(A) = det(A^T) = det(-A) = det((-1)(A)) = det(-1)*det(A) = -1 * det(A). Dann wäre die det(A) zwingend null und somit der Rang kleiner als n. Jedoch habe ich nun recherchiert und anscheinend kommt am Ende \( (-1)^{n} \)*det(A) raus, was erklärt warum bei geradem n diese Matrizen invertierbar sind. Kann mir jemand vielleicht erklären, warum die -1 hoch n genommen werden muss und wie der Beweis dann richtig aussehen würde? Ich freue mich über eine Antwort

Comments

det((-1)(A))

Falls -1 hier ein Skalar ist, ist

= det(-1)*det(A)

falsch. Für n x n Matrizen gilt $$ \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A) $$

Falls -1 hingegen die n x n Diagonalmatrix mit lauter -1 auf der Hauptdiagonalen bezeichnet ist

det(-1)*det(A) = -1 * det(A).

falsch. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonaleinträge, also hier ein Produkt mit n-mal dem Faktor -1.