Extremwerte unter Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Man bestimme die möglichen Extremwerte der Funktion

\( f(x, y)=\frac{y^{2}}{2}-5 x^{3}-100 \)

unter der Nebenbedingung
\( 6-y=10 x \)

Answer 1

Man bestimme die möglichen Extremwerte der Funktion                      \( f(x, y)=\frac{y^{2}}{2}-5 x^{3}-100 \)    unter NB:  \( 6-y=10 x \)

y=6-10x

f(x)=\( \frac{1}{2} \)*\( (6-10x)^{2} \)-5*\( x^{3} \)

f´(x)=(6-10x)*(-10)-15*\( x^{2} \)

f´(x)=(10x-6)*10-15*\( x^{2} \)

(10x-6)*10-15*\( x^{2} \)=0

x₁=\( \frac{2}{3} \)     y₁=6-10*\( \frac{2}{3} \)=-\( \frac{2}{3} \)

x₂=6      y₂=6-10*6=-54

Answer 2

Irgendwelche eigenen Ansätze?

Nebenbedingung nach einer Unbekannten auflösen und in die Funktion einsetzen?

Hier eine Kontroll-Lösung

Answer 3

Man bestimme die möglichen Extremwerte der Funktion                      \( f(x, y)=\frac{y^{2}}{2}-5 x^{3}-100 \)    unter NB:  \( 6-y=10 x \)y=6-10xf(x)=\( \frac{1}{2} \)*\( (6-10x)^{2} \)-5*\( x^{3} \) f´(x)=(6-10x)*(-10)-15*\( x^{2} \)f´(x)=(10x-6)*10-15*\( x^{2} \)(10x-6)*10-15*\( x^{2} \)=0x₁=\( \frac{2}{3} \)     y₁=6-10*\( \frac{2}{3} \)=-\( \frac{2}{3} \)x₂=6      y₂=6-10*6=-54