Aloha :)
Ich würde die \(1\) in Polarkoordinaten darstellen und dabei die \(2\pi\)-Periode der Winkelfunktionen berücksichtigen. Mit \(k\in\mathbb Z\) gilt dann nämlich:$$\left.z^5=1\quad\right|1=e^{i\,2k\,\pi}$$$$\left.z^5=e^{i\,2k\,\pi}\quad\right|(\cdots)^{\frac15}$$$$\left.z=e^{i\,\frac25k\,\pi}\quad\right|(\cdots)^{\frac15}$$Du bekommst für \(k=0,1,2,3,4\) jeweils verschiedene Lösungen heraus:$$z_0=e^0=1\quad;\quad z_1=e^{i\frac25\pi}\quad;\quad z_2=e^{i\frac45\pi}\quad;\quad z_3=e^{i\frac65\pi}\quad;\quad z_4=e^{i\frac85\pi}$$
Diese fünf Werte bilden das \(2\pi\)-Intervall aller unterschiedlichen Lösungen ab. Für alle anderen \(k\) lassen sich die Lösungen auf eine dieser \(5\) zurückführen. Die Gleichung hat also 5 unterschiedliche Lösungen.
