Grenzwert einer Folge

Question

Hallo, wie ermittle ich den Grenzwert dieser Folge?

Ich stocke leider bei (-1)^n*n.. ist die gesamte Folge dann divergent?

Falls ja, darf ich das dann einfach so hinschreiben?

c) \( c_{n}=\LARGE\frac{9+(-1)^{n} n}{9 \sqrt{n^{3}}+17} \)

Answer 1

Es gilt n=\( \sqrt{n^2} \).

Teile Zähler und Nenner durch n.

Erkennst du jetzt, dass der Zähler beschränkt ist und der Nenner trotz des Teilens durch n immer noch unbegrenzt wächst?

Answer 2

√n^3 = n*√n

mit n kürzen:

(9/n +(-1)^n)/(9*√n +17/n) = (0 +(-1)^n)/(9√n +0) = 0 für n -> oo

Answer 3

Aloha :)

Rufe dir in Erinnerung, dass \(\sqrt{n^3}=\sqrt{n^2\cdot n}=\sqrt{n^2}\cdot\sqrt n=n\sqrt n\) gilt:$$c_n=\frac{9+(-1)^n\cdot n}{9\sqrt{n^3}+17}=\frac{\frac{1}{n\sqrt n}\left(9+(-1)^n\cdot n\right)}{\frac{1}{n\sqrt n}\left(9n\sqrt n+17\right)}=\frac{\frac{9}{n\sqrt n}+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}{9+\frac{17}{n\sqrt n}}\to\frac{0+0}{9+0}=\frac09=0$$