0 Daumen
332 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge (n+1n)4(2n2n)2 \frac{(-n+\frac{1}{n})^4}{(2n^2-n)^2}


Problem/Ansatz:

Ich muss hier den Grenzwert bestimmen mit Hilfe von den Rechenregeln für Grenzwerte, leider habe ich keine Ahnung, welche Regel ich anwenden muss, oder wie ich vorgehen soll.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Zuerst vereinfachst du den Term:limn(n+1n)4(2n2n)2=limn[n(1+1n2)]4[n2(21n)]2=limnn4(1+1n2)4n4(21n)2=limn(1+1n2)4(21n)2\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(-n+\frac1n\right)^4}{(2n^2-n)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left[n\cdot\left(-1+\frac1{n^2}\right)\right]^4}{\left[n^2\cdot\left(2-\frac1n\right)\right]^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4\cdot\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{n^4\cdot\left(2-\frac1n\right)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{\left(2-\frac1n\right)^2}

Jetzt wendest du die Grenzwertsätze an: Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte, falls(!) diese Grenzwerte existieren. Dasselbe gilt für Differenz, Produkt und Quotient.

Damit schreibst du weiter:=limn(1+1n2)4limn(21n)2=(limn(1+1n2))4(limn(21n))2=(1+limn1n2)4(2limn1n)2=(1+0)4(20)2=14=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac1n\right)^2}=\frac{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(-1+\frac1{n^2}\right)\right)^4}{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac1n\right)\right)^2}=\frac{\left(-1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n^2}\right)^4}{\left(2-\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\right)^2}=\frac{(-1+0)^4}{(2-0)^2}=\frac14

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

n ausklammern und dann mit n4 kürzen.

Avatar von 289 k 🚀

meine Rechnung

(n+14)4(2n2n)2 \frac{(-n+\frac{1}{4})^4}{(2n^2-n)^2}

=  (n+14)4n2(4n2n) \frac{(-n+\frac{1}{4})^4}{n^2(4n^2-n)}

n4+1444n4n3 \frac{-n^4+\frac{1}{4}^4}{4n^4-n^3}  / n^4 im Zähler und Nenner kürzen

1444n3 \frac{-\frac{1}{4}^4}{4-n^3}


Das habe ich raus bekommen, aber in den Lösungen ist 14 \frac{1}{4} als Grenzwert gegeben

Hast du bei den Umformungen auch an die

binomischen Formeln gedacht.

Betrachte mal lieber die 2. Lösung.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage