Kettenbruchentwicklung von Wurzeln

Question

Kettenbruchentwicklung von :

2+$\frac{1}{\sqrt{5}}$

\frac{1}{2}+ $\sqrt{3}$

Answer 1

Hallo,

Bei einer Kettenbruchentwicklung setzt man zunächst den initialen Wert auf $\alpha_0$ und berechnet den Ganzzahlanteil $b_0$. Wegen $2 \lt \sqrt 5 \lt 3$ gilt hier $$\alpha_0 = 2 + \frac 1{\sqrt 5} \implies b_0=\lfloor\alpha_0\rfloor = 2$$Jedes weitere $\alpha_i$ berechnet man nach$$\alpha_{i+1} = \frac{1}{\alpha_i - b_i}\quad\quad b_{i+1} = \lfloor\alpha_{i+1}\rfloor \in \mathbb N$$und der Kettenbruch ist dann in den beiden Schreibweisen:$$\alpha_0 = b_0 + \frac{1}{b_1 + \frac{1}{b_2+ \frac{1}{b_3 + \dots}}} = [b_0;\,b_1,\,b_2,\, b_3,\,\dots ]$$In diesem konkretem Fall heißt das$$\alpha_0 = 2+\frac{1}{\sqrt 5} \implies b_0= 2 \\ \alpha_1 = \frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt 5} - 2} = \sqrt 5 \implies b_1 = 2 \\ \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt 5 - 2} = \frac{\sqrt 5 + 2}{5 - 2^2} = \sqrt 5 + 2 \implies b_2 = 4 \\ \alpha_3 = \frac{1}{\sqrt 5 + 2 - 4} = \alpha_2 \space\dots$$Ab dem Index 2 wiederholt sich der Wert immer wieder: $b_i=4$ für $i \ge 2$. Also ist das Ergebnis$$2+\frac{1}{\sqrt 5} = [2;\,2,\,\overline 4] = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{4+ \frac{1}{4 + \dots}}}$$

Das gleiche für $1/2+\sqrt 3$. Hier ist $3/2 \lt \sqrt 3\lt2$$$\alpha_0 = \frac12 + \sqrt 3 \implies b_0 = 2 \\ \alpha_1 = \frac1{\frac12 + \sqrt 3 - 2} = \frac2{2\sqrt 3 - 3} = \frac{2(2\sqrt 3 + 3)}{12-9} = \frac43\sqrt 3+2 \\ \quad \implies b_1= 4 \\ \alpha_2 = \frac1{\frac43\sqrt 3+2 - 4} = \frac3{4\sqrt 3 - 6} = \frac{3(4\sqrt 3 + 6)}{48-36} = \sqrt 3 +\frac32 \\\quad \implies b_2= 3 \\ \alpha_3 = \frac1{\sqrt 3 +\frac32 - 3} = \frac2{2\sqrt 3 - 3} = \alpha_1$$Daraus folgt dann $$\frac12 + \sqrt 3 = [2; \,\overline{4,\,3}]$$Gruß Werner