Aloha :)
Zuerst würde ich mir den Funktionsterm vereinfachen, damit die Ableitungen einfacher werden:$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x^2-1+2}{x^2-1}=\frac{x^2-1}{x^2-1}+\frac{2}{x^2-1}=1+\frac{2}{x^2-1}$$
Damit lauten nun die erste und zweite Ableitung mit der Quotientenregel:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{2}^{=u}}{\underbrace{x^2-1}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{(x^2-1)}^{=v}-\overbrace{2}^{=u}\cdot\overbrace{2x}^{=v'}}{\underbrace{(x^2-1)^2}_{=v^2}}=-\frac{4x}{(x^2-1)^2}$$$$f''(x)=-\left(\frac{\overbrace{4x}^{=u}}{\underbrace{(x^2-1)^2}_{=v}}\right)'=-\frac{\overbrace{4}^{=u'}\cdot\overbrace{(x^2-1)^2}^{=v}-\overbrace{4x}^{=u}\cdot\overbrace{\overbrace{2(x^2-1)}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{2x}^{=\text{innere}}}^{=v'}}{\underbrace{(x^2-1)^4}_{=v^2}}$$$$\phantom{f''(x)}=-\frac{4(x^2-1)-4x\cdot2\cdot2x}{(x^2-1)^3}=-\frac{-12x^2-4}{(x^2-1)^3}=\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$$
Die erste Ableitung wird \(0\) an der Stelle \(x=0\). Daher ist \(x=0\) ein Kandidat für ein Extremum. Die zweite Ableitung an der Stelle \(x=0\) ist negativ, genauer \(f''(0)=-4\), sodass bei \(x=0\) ein Maximum vorliegt. Der Punkt \((0|-1)\) ist also ein Maximum.
