Du hast nur für Grad=1 das Ergebnis, es soll doch allgemein für m
gegeben werden: allgemein Taylorpolynom Grad m bei der Stelle 0:
Tm(x)= f(0) + f'(0)*x + f''(0) *x^2 / 2! + f'''(0)*x^3 /3!+ ... f(m)(0)*x^m /m!
Und f(k)(x)= (-1)k+1 / (x+1)k also f(k)(0)=(-1)k+1
==>Tm(x)= 0 + x - x^2 / 2! + x^3 /3!+ ... (-1)m+1*x^m /m!
b)Die Potenzreihe ist wohl \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \cdot x^n\)
Dann ist ja der Anfang der Potenzreihe gleich dem Taylorpolynom
und du kannst den Unterschied zwischen Tn(x) und log(1+x) mit der Restgliedformel abschätzen:
$$ R_n(x)=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\Bigg| $$ wobei dein ξ immer zwischen x und 0 liegt, also hier \( | \xi | \leq 1 \) gilt und somit
$$ R_n(x)=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\Bigg| \leq \frac{1}{(n+1)!}$$
geht also für n gegen ∞ gegen 0.