Taylorpolynom und Lagrange-Darstellung

Question

Hallo

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion

\(f:(-1; ∞) \rightarrow R, x \rightarrow log(1+x) \)

(a) Geben Sie für alle m ∈ N einen Ausdruck für das Taylorpolynom T_m(\(\cdot \); 0) an.
(b) Beweisen Sie mithilfe der Lagrange-Darstellung für das Restglied R_m(x; 0) ,dass die Potenzreihe

 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \)  für x ∈ [0; 1] gegen log(1 + x) konvergiert

Problem/Ansatz:

bei (a)  ich habe raus f(x)=0+1(x−0)  ist das richtig so ?

Es wäre nett, wenn jemand die Lösung für ( b) geben könnte, weil ich nicht weiß, wie ich damit anfangen soll

Answer 1

Du hast nur für Grad=1 das Ergebnis, es soll doch allgemein für m

gegeben werden: allgemein Taylorpolynom Grad m bei der Stelle 0:

T_m(x)= f(0) + f'(0)*x + f''(0) *x^2 / 2! + f'''(0)*x^3 /3!+ ... f^(m)(0)*x^m /m!

Und f^(k)(x)= (-1)^k+1 / (x+1)^k also f^(k)(0)=(-1)^k+1

==>T_m(x)= 0 + x - x^2 / 2! + x^3 /3!+ ... (-1)^m+1*x^m /m!

b)Die Potenzreihe ist wohl \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \cdot x^n\)

Dann ist ja der Anfang der Potenzreihe gleich dem Taylorpolynom

und du kannst den Unterschied zwischen T_n(x) und log(1+x) mit der Restgliedformel abschätzen:

$$ R_n(x)=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\Bigg| $$ wobei dein ξ immer zwischen x und 0 liegt, also hier \( | \xi | \leq 1  \) gilt und somit

$$ R_n(x)=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\Bigg| \leq \frac{1}{(n+1)!}$$

geht also für n gegen ∞ gegen 0.

Comments

danke für die Antwort

ja die potenzeihe ist   \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \cdot x^n\)