N0 mit der Verknüpfung o gemäß a o b := |a - b| überprüfen der Gruppenaxiome

Question

Hallo, wie würde man hier G1 aufschreiben bzgl. der Verknüpfung so " |(a-b)-c| = |a-(b-c)| " ?

G2: Das neutrale Element sollte hier ja die Null sein da |10-0| = |0-10| = 10.

G3: Wenn ich mich nicht Irre gibt es kein Inverses Element da ich nur die Natürlichen Zahlen mit 0 zur Verfügung habe keine negativen Zahlen.

G4: Kann man durch ausprobieren testen |10-20| = |20-10| = 10

Wäre mein Vorgehen hier richtig und zur G1 bin ich mir leider nicht sicher wie die Notation richtig wäre um es zu überprüfen.

Text erkannt:

Aufgabe 3
Es sei $\mathbb{N}_{0}$ mit der Verknüpfung $\circ$ gemäß $a \circ b:=|a-b|$ gegeben. Untersuchen Sie, welche der Gruppenaxiome G1 bis G4 gelten.

Answer 1

$a \circ b:=|a-b|$ .

G1 scheint ja die Assoziativität zu sein.

Da musst du prüfen, ob für je drei Elemente a,b,c aus No gilt

$(a \circ b)\circ c = a \circ ( b \circ c)$ .

Und jetzt die Def. verwenden

$|a-b| \circ c = a \circ |b-c|$  und nochmal

$||a-b| - c| = | a - |b-c| |$

Und jetzt mal ein wenig schauen:

|a-b| ist der Abstand zwischen a und b

und |b-c| | der zwischen b und c. Wenn der

z.B. gleich a ist, gibt es rechts eine 0.

Aber links ist es nicht unbedingt so. Gegenbeispiel

kann man also daraus konstruieren etwa mit

a=2 und b=6 und c=8. Dann hat man

$(a \circ b)\circ c$ = $4 \circ 8$  = 4

Aber

$a \circ ( b \circ c) = 2 \circ 2$  = 0

Also gilt G1 nicht.

G2: Das neutrale Element sollte hier ja die Null sein da |10-0| = |0-10| = 10.

besser so:       |a-0| = a UND |0-a| = |-a| = a da a≥0

G3: Wenn ich mich nicht Irre gibt es kein Inverses Element da ich nur die Natürlichen Zahlen mit 0 zur Verfügung habe keine negativen Zahlen.

Doch: Jedes ist zu sich selbst invers $a \circ a=|a-a| = |0| = 0$ .

G4: Kann man durch ausprobieren testen |10-20| = |20-10| = 10

Geht es um "kommutativ" ?  Auch hier besser allgemein (mit a,b)

argumentieren als mit nem Beispiel. Beispiele sind immer

nur beim Widerlegen einer Gesetzmäßigkeit gut.

Comments

Du hast recht ich sollte es besser mit a und b schreiben besonders als wenn es eine Antwort für eine Aufgabe sein soll. Ah danke ich wusste nicht wo ich die Betragsklammern hinsetzten muss bei G1, ok ja da kann man sehen das G1 nicht gilt.

Das mir das mit dem Inversen nicht aufgefallen ist da hab ich mich zu sehr drauf versteift aber ja klar.

Ja bei G4 handelt es sich um kommutativ habe vergessen das die GA manchmal unterschiedlich nummeriert werden und G1 war auch Assoziativ.

Danke für die Hilfe, woher kann ich bei G1 rausfinden das ich einmal noch Betragsklammern um den ganzen Term machen ?

Answer 2

a°b ist der Betrag der Differenz von a und b. Dann ist

(7°3)°1=4°1=3

und

7°(3°1)=7°2=5

DAMIT GILT DAS ASSOZIATIVGESETZ NICHT