Zeigen Sie, dass der Zeilenrang von A gleich dem Rang von A ist.

Question

Hallo zusammen,

hat jemand eine lösung für mich ?

lg Vlad

Text erkannt:

Seien \( \varphi: A \rightarrow B \) und \( \psi: B \rightarrow C \) zwei Abbildungen und \( \psi \circ \varphi \) ihre Komposition.
a) (3 Punkte) Zeigen Sie oder widerlegen Sie, dass falls \( \psi \circ \varphi \) injektiv ist, dann ist auch \( \psi \) injektiv.
b) (3 Punkte) Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass in diesem Fall auch \( \varphi \) injektiv sein muss.

Text erkannt:

a) Sei \( K \) ein Körper und \( A \in M_{m \times n}(K) \) eine Matrix. Zeigen Sie, dass der Zeilenrang von \( A \) gleich dem Rang von \( A \) ist.
b) Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Abbildung \( a: V \rightarrow V^{* *}, a \mapsto\langle a, \cdot\rangle \) ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Answer 1

Der Rang einer Matrix ist die Dimension \(Rg(A)=\dim(Bild(A))\).

Der Dimensionsatz für lineare Abbildungen besagt:

\(n=Rg(A)+\dim(\ker(A))\). Die Zeilestufenform des Gauss-Verfahrens

hat soviele Nichtnullzeilen, wie es linear unabhängige Zeilen gibt,

d.h. diese Anzahl ist gleich dem Zeilenrang \(Zr(A)\) von \(A\).

Die zu beweisende Gleichheit der Ränge ergibt sich nun aus

der Formel für die Dimension der Lösungsmenge \(L\) eines homogenen

LGS: \(n-Zr(A)=\dim(L) = \dim(\ker(A))=n-Rg(A)\),

also \(Zr(A)=Rg(A)\).