Der wildgewordene Geschäftsführer, oder: Freie Tage nur an Geburtstagen

Question

Aufgabe:

In einer Firma liebt der Geschäftsführer Geburtstage, weshalb jeder Geburtstag eines Mitarbeiters ein firmenweiter Feiertag ist; es gibt keine anderen freien Tage. Wie viele Beschäftigte sollte die Firma haben, um die (erwartete) Gesamtzahl an gearbeiteten Tagen (gewichtet mit der Anzahl an Beschäftigten, also Personentage) zu maximieren? Z.B. bei 10 Beschäftigten mit unterschiedlichen Geburtstagen wird pro Jahr (365 − 10) · 10 solcher Tage gearbeitet; falls genau ein Geburtstag doppelt vorkommt, sind es (365 − 9) · 10 Tage.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine gute Idee, bin für jede Hilfe dankbar.

Comments

arbeitsfreie Sonntage sind abgeschafft

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Stammt diese Aufgabe aus einem Schulbuch? Wenn ja - welches Schulbuch ist das? Oder hat sich euer Lehrer diese Aufgabe ausgedacht? Welche Schule in welcher Stadt besuchst du?

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Nein, das ist keine Schulbuchaufgabe.

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Hat sich euer Lehrer diese Aufgabe ausgedacht? Welche Schule in welcher Stadt besuchst du?

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Woher mein Lehrer die Aufgabe hat weiß ich nicht. Er meinte, das wäre eine schwierige Knobelaufgabe.

Gehe in die 12. Klasse eines Gymnasiums in Bayern.

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Diese Aufgabe soll wie eine Aufgabe mit Realitätsbezug erscheinen, ist aber alles andere als das.

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Warum das?

Hättest du eine Lösungsidee?

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Wäre noch jemand bereit, mir zu helfen?

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Kennst du einen einzigen Betrieb auf der Welt, in dem jeder Geburtstag eines Mitarbeiters ein firmenweiter Feiertag ist?

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Nein, natürlich nicht. Aber das ist ja keine Aufgabe, wo es um einen realen Sachverhalt geht, sondern eben um ein Zufallsexperiment. Das nicht jede Mathematik Aufgabe was mit realen Sachverhalten zu tun hat ist doch klar, oder nicht? Manchmal gehts einfach ums Knobeln ;D

Ist die Aufgabe denn nicht lösbar?

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Also es würde mich echt freuen, wenn mir noch jemand helfen könnte.

Ich kann meinem Lehrer ja schlecht sagen: Ich habe die Aufgabe nicht gelöst, da kein Realitätsbezug.

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Das nach dem Komma kannst Du weglassen. Er liest hier mit.

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Was soll das heißen?

Also es geht mir ja auch nicht darum, eine fertige Lösung vorgesetzt zu bekommen, sondern vielleicht ein Tipp.

Die Abgabe ist bis morgen.

Answer 1

Hi, ich denke man kann das so machen.

Nehme \( N \) Mitarbeiter und ordne nach dem Zufallsprinzip jedem Mitarbeiter eine Zahl zwischen 1 und 365 zu. Das sollen die Geburtstage der Mitarbeiter sein. Dannn zählst Du, wieviel unterschiedliche Gebursttage es gibt.

Die Formel für die Arbeitstage hast Du ja schon selber hingeschrieben $$ \text{Anzahltage} = (365 - k) \cdot N $$

Wobei jetzt \( k \) die Anzahl der verschiedenen Geburtstage darstellt.

Du musst das Prinzip, dass ich beschrieben habe, aber mehrmals durchführen, da die Geburtstage ja immer zufällig gezogen werden. Danach bildet man den Mittelwert über alle durchgeführten Versuche und bekommt so den wahrscheinlichsten Wert an unterschiedlichen Geburtstagen, in Abhängigkeit der Mitarbeiteranzahl.

Unten eine Grafik wie es aussehen könnte. \( f(n) \) ist die Anzahl der Arbeitstage und \( n \) die Anzahl der Mitarbeiter.

Da die Berechnung lange dauert, habe ich die Anzahl der Mitarbeoter jeweils nur in hunderter Schritten berechnet und auch nur 100 Wiederholungen durchgeführt. Mir erscheint das Ergebnis plausibel, denn wenn man wenig Mitarbeiter hat, ist die Wahrscheinlichkeit gering, dass es doppelte Geburtstage gibt, aslo steigt die Anzahl der Arbeitstage am Anfang mit der Anzahl der Mitarbeiter. Bei sehr vielen Mitarbeitern steigt die Zahl der unterschiedlichen Geburtstage aber gegen 365, und damit die Anzahl Arbeitstage gegen 0.

Comments

Danke für die Antwort, das hat mir sehr geholfen!