Question

Wie lassen sich der Kathetensatz und auch der Satz des Thales mithilfe des Skalarprodukts begründen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

zum Kathetensatz findest du hier zwei Antworten, zum Satz des Thales gibt es u.a. dieses Video.

Gruß, Silvia

Answer 2

Hallo,

ich betrachte einen Kreis mit dem Mittelpunkt O(0|0) und dem Radius r.

Dann gilt x²+y²=r².

Ein Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten (x|y).

Verbinde (-r|0) mit (x|y).

\(\vec a=\begin{pmatrix} r+x\\y \end{pmatrix} \)

Verbinde (x|y) mit (r|0).

\(\vec b=\begin{pmatrix} r-x\\-y \end{pmatrix} \)

\(\vec a\cdot \vec b\\=\begin{pmatrix} r+x\\y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r-x\\-y \end{pmatrix}\\=(r+x)(r-x)+y(-y)\\=r^2-x^2-y^2\\=0\)

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Danke, Gruß E.W.

Answer 3

Es reicht, den Thales-Satz an der oberen Hälfte

des Einheitskreises zu beweisen. Sei \(P\) ein Punkt auf der Peripherie,

dann ist bekanntermaßen \(P=(\cos(\alpha),\sin(\alpha))\)

für ein passendes \(\alpha\).

\(u\) sei der Verbindungsvektor von \((-1,0)\) nach \(P\) und

\(v\) der Verbindungsvektor von \((1,0)\) nach \(P\). Dann gilt:

\(u=(\cos(\alpha)+1,\sin(\alpha))\) und \(v=(\cos(\alpha)-1,\sin(\alpha))\).

Das Skalarprodukt \(u\cdot v\) ist

\(\cos^2(\alpha)-1+\sin^2(\alpha)=1-1=0\), somit \(u\perp v\).

Comments

vielen Dank, schönen Sonntag und Gruß E.W.