Mathematiker und Banker

Question

Berechne die Verzinsung eines Kapitals von 1000€ über sieben Jahre mit jährlich 4%.

Vergleiche das Ergebnis mit der Verzinsung nach dem Verzinsungsplan.

Verzinsungsplan für eine festverzinsliche Anlage von 1000€:

1. Jahr: 1%

 2. Jahr: 2%

 3. Jahr: 3%

4. Jahr: 4%

5. Jahr: 5%

6. Jahr: 6%

7. Jahr: 7%

Answer 1

Wo ist dein Problem?

Das eine ist 1000*1,04⁷, das andere ist 1000*1,01*1,02*1,03*1,04*1,05*1,06*1,07.

Ohne jegliche Rechnung lässt sich mit der 3. binomischen Formel begründen, welcher Betrag der größere ist.

Comments

Da ich den Tipp mit der 3. Binomischen Formel recht gut finde, möchte ich das noch kurz erläutern

(x + a)(x - a) = x² - a² < x² für a ≠ 0

Schaut man sich den zweiten Term an

1000*1,01*1,02*1,03*1,04*1,05*1,06*1,07

und schreibt ihn jetzt etwas anders

1000*(1,04-0.03)*(1,04-0.02)*(1,04-0.01)*1,04*(1,04+0.01)*(1,04+0.02)*(1,04+0.03)

Jetzt fasst man entsprechende Formen gemäß der 3. Binomischen Formel zusammen und man erkennt, dass der zweite Term offensichtlich kleiner sein muss. Da die farblich markiertern Terme jeweils zusammen kleiner als 1.04² sind.

Ich hoffe, es ist so verständlich.

Allerdings muss man erwähnen, dass Schüler von allein wohl nicht auf die leichte Idee kommen, die dritte binomische Formel hier zur Begründung zu benutzen.

Wie gesagt, kann man das im Zweifel auch mit dem Taschenrechner sehr leicht ausrechnen.

Trotzdem finde ich den Tipp an sich sehr gut, dann kann ein Schüler auch versuchen mal über den Tellerrand zu schauen und seinen Horizont erweitern.

Aber natürlich muss man diesen Tipp nicht weiter verfolgen, wenn man daran kein Interesse hat.

Ich persönlich hätte es auch einfach in den Taschenrechner eingetippt, ohne nachzudenken.

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Da ich den Tipp mit der 3. Binomischen Formel recht gut finde,

Warum? Was hat er mit der Aufgabenstellung zu tun?

Allerdings muss man erwähnen, dass Schüler von allein wohl nicht auf die leichte Idee kommen

Welcher Schüler? Womöglich noch in der Prüfungssituation!

Ich persönlich hätte es auch einfach in den Taschenrechner eingetippt, ohne nachzudenken.

Wie jeder normale Mensch gerade in diesem Fall.
Und mehr ist auch garantiert nicht verlangt.

Der pädagogische Hammer war zudem, die bin. Formel ohne jede weitere
zielführende Erläuterung in den Raum zu stellen, deren Zweck kein Mensch
erkennen kann.

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Ich bin zwar kein Leerer, aber meiner Meinung nach ist die Idee hinter der Frage ein Verständnis dafür zu wecken, dass das geometrische Mittel kleiner als das arithmetische Mittel ist (sofern nicht alle jährlichen Zinssätze im Sparplan gleich sind).

Aus der AGM-Ungleichung folgt$$\sqrt[7]{1,01\cdot1,02\cdot1,03\cdots1,07}<\frac{1,01+1,02+1,03+\cdots1,07}{7}=1,04$$Auf beiden Seiten hoch $7$ und wir haben:$$1,01\cdot1,02\cdot1,03\cdots1,07<1,04^7$$Man kann mit der dritten binomischen Formel die AGM-Ungleichung beweisen, aber dieser Beweis ist für jemanden auf Paulas Ausbildungsniveau vermutlich nicht leicht nachzuvollziehen.

Daher finde ich den Hinweis auf die dritte binomische Formel für Paula didaktisch irritierend, auch weil er zuerst ohne jegliche weitere Erklärung dargeboten wurde. Erst durch die Ergänzung vom Coach hat Paula überhaupt die Chance zu verstehen, was gemeint ist.

Die zweite binomische Formel trifft die Kernidee sogar genauer:$$0\le\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2=a-2\sqrt{a\cdot b}+b\implies\sqrt{a\cdot b}\le\frac{a+b}{2}$$Man erkennt auch, dass Gleichheit nur für den Fall $a=b$ vorliegt.

@Paula: Daher ist mein Tipp an dich derselbe wie von Gast2016:

Rechne es einfach aus:$$1,01\cdot1,02\cdot1,03\cdots1,07\approx1,3142$$$$1,04^n\approx1,3159$$Lass die Mathematiker philosophieren und nimm mit, dass das geometrische Mittel kleiner als das arithmetische Mittel ist (wenn nicht alle Werte gleich groß sind).

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Soweit ich weiß, steht das geometrische Mittel bis zum Abitur nicht auf dem Lehrplan. Zumindest nicht in Hamburg.

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Mich wundert nichts mehr... Aber wie passt das zusammen mit:

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Wer das amerikanische, staatliche Bildungssystem etwas kennt, wundert sich.

Wer hat die Statistik erstellt, nach welchen Kriterien?

Was heißt MOST-EDUCATED? Wie aussagekräftig sind solche rankings?

Im Netz finde ich dazu u.a.:

https://worldpopulationreview.com/country-rankings/most-educated-cou…

https://www.newsweek.com/most-educated-countries-world-1600620

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Das steht unter dem Video:

Durchschnittliche Anzahl von Schuljahren über alle Bildungsniveaus hinweg für die Bevölkerung ab 25 Jahren

Deutsche Menschen ab 25 genossen also im Durchschnitt etwas mehr als 14 Bildungsjahre. Über die Qualität dieser abgesessenen Jahre sagt die Statistik überhaupt nichts aus.

Also Quantität über Qualität. Glaube keiner Statistik, die du nicht selber gefälscht hast.

PS: Ohnehin halte ich irgendwelche Youtube-Kanäle nicht geeignet für seriöse Studien. Hiermit nehme ich mal explizit die Kanäle der FUNK-Mediengruppe aus.

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Wer hat die Statistik erstellt, nach welchen Kriterien?

steht unter dem Video. Es wird lediglich die durchschnittliche Anzahl von Jahren angegeben, die man bis zum 25'sten Lebensjahr in der Schule (und/oder Uni) verbracht hat.

Es muss also nicht heißen 'am meisten gebildeten' sondern 'am längsten in der Schule hockenden'! Und dass Deutschland dann im Jahre 2017 an erster Stelle steht, halte ich nicht für rühmlich!