Hier eine alternative Lösung:
Man diferenziere die gegebene DGL:
\(y''+2y'=3e^{3x}=3(y'+2y)\).
Man bekommt so die homogene lineare DGL 2-ter Ordnung
\(y''-y'-6y=0\quad(*) \).
Hier macht man wie üblich den Ansatz \(y=e^{\lambda x}\).
Setzt man dies in die DGL \((*)\) ein, so erhält man für \(\lambda\)
die quadratische Gleichung \(\lambda^2-\lambda -6=0\),
die die beiden Lösungen \(-2\) und \(3\) besitzt.
Die Lösungen von \(*)\) haben also die Gestalt
\(y=C_1e^{-2x}+C_2e^{3x}\). Dies setzt man in die
ursprüngliche DGL ein:
\(-2C_1e^{-2x}+3C_2e^{3x}+2C_1e^{-2x}+2C_2e^{3x}=e^{3x}\).
Hieraus folgt: \(C_2=1/5\).
Die Lösungen der Original-DGL lauten also
\(y=Ce^{-2x}+1/5\cdot e^{3x}\),
wie Grosserloewe bereits gezeigt hatte.
