Eine Umkehrfunktion bilden

Question

Aufgabe:  Bilde die Umkehrfunktion von 2^2x-1

Danke für die kommenden Antworten.

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Weißt du, was eine Umkehrfunktion ist?

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Setze :y= 2^2x-1

y= 2^2x * 2^-1 dann ln

ln y = ln 2^2x *2^-1

dann ln y = 2x * ln 2*2^-1

lny/ ln 2*2^-1 = 2x dann durch 2

Keine ahnung ob es stimmt

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ln y = ln 2^(2x) *2-1

ln y = 2x * ln 2*2-1

Der Schritt ist falsch.

ln y = ln[2^(2x) *2^(-1)] = ln[2^(2x)] + ln[2^(-1)]

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Danke für die antwort

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Zur Bildung der Umkehrfunktion von$$y=2^{2x-1}$$vertauschst du \(x\) und \(y\) und stellst die neue Gleichung nach \(y\) um:$$\left.y=2^{2x-1}\quad\right|\text{\(x\) und \(y\) vertauschen.}$$$$\left.x=2^{2y-1}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(x)=\ln\left(2^{2y-1}\right)\quad\right|\text{verwende rechts: }\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$\left.\ln(x)=(2y-1)\ln(2)\quad\right|\colon\ln(2)$$$$\left.\frac{\ln(x)}{\ln(2)}=2y-1\quad\right|+1$$$$\left.1+\frac{\ln(x)}{\ln(2)}=2y\quad\right|\colon2$$$$y=\frac12+\frac{\ln(x)}{2\ln(2)}=\frac12+\frac{\ln(x)}{\ln(4)}=\frac12+\log_4(x)$$

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Dankeschön!!