Modellierung einer Parabel

Question

Aufgabe:

Eine Parabel zweiten Grades besitzt bei x=1 eine Nullstelle und im Punkt P(2|6) die Steigung 8. Bestimmen sie die Gleichung der Parabel
- Ich muss eine Gleichung bilden (letztendlich Gaußischer Algorithmus anwenden können, Dreiecksform)

Problem/Ansatz:

Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen muss?

Answer 1

Eine Parabel zweiten Grades

(1)        \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

besitzt bei x=1 eine Nullstelle

Die Parabel verläuft also durch den Punkt \((1|0)\).

Einsetzen des Punktes in (1) ergibt

        \(0 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c\)

und somit

(2)        \(a+b+c=0\).

und im Punkt P(2|6)

Einsetzen des Punktes in (1) ergibt

    \(6 = a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c\)

und somit

(3)        \(4a+2b+c=6\).

im Punkt P(2|6) die Steigung 8

Das heißt für \(x = 2\) ist \(f'(x) = 8\). Einsetzen in

        \(f'(x) = 2ax + b\).

ergibt

        \(8 = 2a\cdot 2 + b\)

und somit

(4)        \(4a + b = 8\).

Löse das Gleichungssystem (2), (3), (4).

Answer 2

Eine Parabel zweiten Grades besitzt bei x=1 eine Nullstelle und im Punkt P(2|6) die Steigung 8. Bestimmen sie die Gleichung der Parabel.

f(x)=a*(x-1)(x-N)

f(2)=a*(2-1)(2-N)=a*(2-N)

a*(2-N)=6                            a=\( \frac{6}{2-N} \)

f(x)=\( \frac{6}{2-N} \)*[(x-1)(x-N)]

f´(x)=\( \frac{6}{2-N} \)*[1*(x-N)+(x-1)*1]=\( \frac{6}{2-N} \)*[2x-N-1]

f´(2)==\( \frac{6}{2-N} \)*[2*2-N-1]=\( \frac{6}{2-N} \)*[3-N]

\( \frac{6}{2-N} \)*[3-N]=8     N=-1      a=\( \frac{6}{2+1} \)=2

f(x)=2*(x-1)(x+1)=2x²-2

Answer 3

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(1) = 0
f(2) = 6
f'(2) = 8

Gleichungssystem

a + b + c = 0
4a + 2b + c = 6
4a + b = 8

Funktion

f(x) = 2·x² - 2