Ich hätte bisher rausgefunden, dass es assoziativ ist also Halbgruppe und ich denke, dass das neutrale Element f(x) …

Question

Aufgabe:

(b) \( (C([0,1], \circ) \), wobei \( C([0,1] \) die Menge auf dem Intervall \( [0,1] \) stetigen Funktionen und o die Hintereinanderausführung von Funktionen ist, d.h. \( (f \circ g)(x)=f(g(x)) \).

Problem/Ansatz:

Die Frage hierbei ist ob diese Menge eine Halbgruppe, Monoid oder Gruppe bzw. auch kommutativ sein kann.

Ich hätte bisher rausgefunden, dass es assoziativ ist also Halbgruppe und ich denke, dass das neutrale Element f(x) =x ist und das inverse die Umkehrfunktion?

Stimmt das oder lieg ich da in manchen Sachen falsch?

Comments

Korrekt, warum ist diese Menge dann nur ein Monoid und keine Gruppe? Und gilt die Kommutativität?

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Okay demnach wäre es tatsächlich eine Gruppe.

Kommutativ ist es nicht, weil man es nicht vertauschen darf bzw. dann ein anderes Ergebnis herauskommt?

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Nein sie ist keine Gruppe, aber warum? Ist die Verknüpfung von Abbildungen kommutativ oder nicht....

Answer 1

ich denke, dass das neutrale Element f(x) =x ist  ✓

und das inverse die Umkehrfunktion? Nein ! Nicht jede stetige Funktion

besitzt eine Umkehrfunktion. Z.B. f(x)=1 für alle x.