Fundamentalsatz der Integralrechnung: Ableitung an der Stelle berechnen

Question

Aufgabe:

Bereche f´(2).

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( f(x)=\int \limits_{3}^{\frac{x}{2}} \frac{t^{3}+4 t+4}{1+t^{2}} d t \)

Was ich mir überlegt habe: man kann beide Seiten derivieren, da die Funktion für beide Grenzen stetig ist.

dann bekomme ich f´(x)=(t³+4t+4)/1+t²

Wenn ich dann 2 einsetze, bekomme ich ein falsches Ergebnis. Man soll auf 9/4 kommen. Was mache ich falsch? Wie soll man da vorgehen?

Danke

Answer 1

Mit \(g(x)=\dfrac{x^3+4x+4}{x^2+1}\) gilt \(f(x)=G(\frac x2)-G(3)\), wobei \(G\) eine Stammfunktion von \(g\) ist, d.h. es ist \(G^\prime(x)=g(x)\).
Differenzieren liefert \(f^\prime(x)=G^\prime(\frac x2)-\big(G(3)\big)^\prime=\frac12g(\frac x2)\).
Mit \(x=2\) folgt \(f^\prime(2)=\frac12g(1)=\frac12\cdot\frac92=\frac94\).

Answer 2

f '(t)=g(t)=\( \frac{t^3+4t+4}{1+t^2} \)

h(x)=g(x/2)-g(3)

Setze x=2 und erhalte f '(2)=h(2).

Comments

Demnach wäre \(f^\prime(2)=h(2)=g(1)-g(3)=\frac15\) ?

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Wie lautet denn dein Ergebnis?