Wie löse ich die Gleichung nach a auf?

Question

Aufgabe:

(1+a)^2+(1+1/a)^2=9

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Gleichung nach a auf?

Answer 1

Multipliziere aus und erhalte$$a^4+2a^3-7a^2+2a+1=0.$$Sicher ist \(a=0\) keine Lösung. Dividiere durch \(a^2\) und erhalte nach Umsortieren$$\left(a^2+2+\frac1{a^2}\right)+2\left(a+\frac1a\right)-9=0.$$Substituiere \(x=a+\frac1a\) und erhalte$$x^2+2x-9=0.$$\(pq\)-Formel liefert$$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{10}.$$Nun resubstituiere und erhalte$$a^2-ax+1=0.$$Erneutes Anwenden der \(pq\)-Formel liefert die vier reellen Lösungen$$\boxed{\begin{matrix}a_1=\tfrac12\left(-1+\sqrt{10}-\sqrt{7-2\sqrt{10}}\right)\\[8px]a_2=\tfrac12\left(-1+\sqrt{10}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}\right)\\[8px]a_3=\tfrac12\left(-1-\sqrt{10}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}\right)\\[8px]a_4=\tfrac12\left(-1-\sqrt{10}+\sqrt{7+2\sqrt{10}}\right)\end{matrix}}$$

Comments

Super-Lösung !!!!

Answer 2

(1 + a)^2 + (1 + 1/a)^2 = 9

(a^2 + 2·a + 1) + (2/a + 1/a^2 + 1) = 9

a^2 + 2·a + 2/a + 1/a^2 + 2 = 9

a^2 + 2·a + 2/a + 1/a^2 - 7 = 0

a^4 + 2·a^3 + 2·a + 1 - 7·a^2 = 0

a^4 + 2·a^3 - 7·a^2 + 2·a + 1 = 0

Lösungen findet man hier über ein Näherungsverfahren bei

a = 0.6702116225 ∨ a = -0.2559980601 ∨ a = 1.492066037 ∨ a = -3.906279600

Answer 3

Eine etwas andere Idee:

Man kann die Gleichung durch zwei Gleichungen ersetzen:

\((1+a)^2+(1+b)^2=9\) und \(ab=1\), also

\((\frac{1+a}{3})^2+(\frac{1+b}{3})^2=1\) und \(ab=1\).

Wegen "Pythagoras" kann ich dies so substituieren:

\(\sin(\alpha)=\pm \frac{1+a}{3}\) und \(\cos(\alpha)=\pm\frac{1+b}{3}\) und \(ab=1\).

Dies ergibt für die 4 Lösungen die jeweiligen Gleichungen

\(3\sin(\alpha)\cos(\alpha)=+\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\)
\(3\sin(\alpha)\cos(\alpha)=+\sin(\alpha)-\cos(\alpha)\)
\(3\sin(\alpha)\cos(\alpha)=-\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\)
\(3\sin(\alpha)\cos(\alpha)=-\sin(\alpha)-\cos(\alpha)\)

Hiermit wollte ich keine exakte Lösung liefern, sondern nur auf

eine innere Struktur der Lösungen hinweisen ...