Wie findet man am einfachsten die zweite Lösung?

Question

Aufgabe:

Hallo, habe wieder mal eine Frage: Wenn man Funktionen hat zum Beispiel

sin x = 0,6 oder

sin x = - 0,3

cos x = - 0,4

Gibt es doch im Bereich 0 bis 2 Pi stets 2 Lösungen. Der TR liefert aber doch nur eine Lösung, das kleinste x. Wie findet man am einfachsten die zweite Lösung?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir immer eine Skizze gemacht von einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion und überlegt, wo sich das zweite x befindet. Dass ein TR die beiden Ergebnisse anzeigt, geht ja offenbar nicht. Gibt es evtl. im Netz dazu online-Rechner?

Answer 1

Hier zuächst ein Graph

Der Funktionswert für x = 0.4115 ist 0.4
( blaue sin Kurve )
Am Hochpunkt spiegelt sich der x-Wert auf die
andere Seite und ist wieder 0.4
Berechnung des x-Werts
Abstand PI/2 ( Hochpunkt ) zu 0.4115
= abs(1.5708 - 0.4115 ) = 1.1593
Auf die andere Seite gespiegelt
x = PI/2 + 1.1593 = 2.7301
( 2.7301 | 0.4)

Hört sich alles etwas umständlich an funktioniert aber.
Sinkurve zeichnen ( von Hand )
Funtionswertsgerade ( rot ) einzeichnen.
Überlegen wohin der Funktionswert gespiegelt wird.
Berechnen.

Comments

Vielen Dank!

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Gern geschehen.

Answer 2

Ich habe mir immer eine Skizze gemacht ... und überlegt, ...

So lernst Du am meisten.

Gibt es evtl. im Netz dazu online-Rechner?

Ja.

Answer 3

Der sin ist negativ im 3. und 4. Quadranten, der cos im 2. und 3.

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

Answer 4

Aloha :)

$$\sin(\pi-x)=\sin(x)\quad;\quad\cos(2\pi\pm x)=\cos(x)=\cos(-x)$$

Answer 5

Grundsätzlich gibt es die folgenden Lösungen

sin(x) = a → x = arcsin(a) oder x = pi - arcsin(a)
cos(x) = a --> x = arccos(a) oder x = 2pi - arccos(a) 

Sollte dabei ein Wert kleiner als 0 auftreten darf man 2pi addieren.

Also

sin x = 0,6

dann ist x = arcsin(0.6) = 0.6435 oder x = pi - arcsin(0.6) = 2.4981

sin x = -0,3

dann ist x = arcsin(-0.3) + 2pi = 5.9785 oder x = pi - arcsin(-0.3) = 3.4463

cos x = -0,4

dann ist x = arccos(-0.4) = 1.9823 oder x = 2pi - arccos(-0.4) = 4.3009

Comments

Hallo, können Sie bitte nochmal den zweiten Wert von sin x = -0,3 prüfen? Ich habe da 3,4463 raus statt 5,4463. Danke!

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Danke. Muss wohl ein Tippfehler gewesen sein. 3.4463 ist richtig.