Ist ( M + *) eine Boolesche Algebra?

Question

Aufgabe: Hallo, eine Aufgabe aus der Booleschen Algebra: Gegeben sei eine Menge M = 0,1,4 und weiterhin die Operatoren: +     *  '  wie folg definiert.

a +b	1	2	4
1	1	2	4
2	2	2	4
4	4	4	4

a	a`
1	4
2	2
4	1

a*b	1	2	4
1	1	1	1
2	1	2	2
4	1	2	4

Ist ( M +  *) eine Boolesche Algebra? Untersuchen Sie hierzu alle Voraussetzungen und begründen Sie Ihre Antworten

Problem/Ansatz: Ich komme hier nicht weiter, wäre um Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Wikipedia sagt:

Das redundante Axiomensystem von Peano (mit zusätzlichen ableitbaren Axiomen) charakterisiert eine boolesche Algebra als Menge mit Nullelement 0 und Einselement 1, auf der die zweistelligen Verknüpfungen und eine einstellige Verknüpfung definiert sind, durch folgende Axiome (originale Nummerierung von Peano):[3]

Kommutativgesetze (1) Assoziativgesetze (2) Idempotenzgesetze (3) Distributivgesetze (4) Neutralitätsgesetze (5) Extremalgesetze (6) Doppelnegationsgesetz (Involution) (7)
De Morgansche Gesetze (8) Komplementärgesetze (9) Dualitätsgesetze(10) Absorptionsgesetze (11)

Also musst du die alle mal prüfen:

zu (1). Für je zwei Elemente von M muss a+b =b+a und a*b=b*a gelten.

Stimmt, da die Tabellen zur Hauptdiagonale symmetrisch sind.

zu (2) Ist schon was aufwändiger, für (a+b)+c = a+(b+c) musst du

quasi 3^3=27 Fälle prüfen: Allerdings sind einige trivial, etwa a=b=c

Aber dann

a       b            c            a+b   (a+b)+c      b+c       a+(b+c)
1        1             2             1           2               2               2
1        2             1           etc.

7 ist wieder einfach: a' ist ja die Negation von a und mann sieht

an der Tabelle (a')' = a .

Comments

Also musst du die alle mal prüfen

Viel einfacher : du zitierst das auf den ersten Blick offensichtlich nicht erfüllte