Integration des Logarithmus über partielle Integration

Question

Liebe Forum-Mitglieder,

ich habe eine Frage zur Berechnung des folgenden Integrals:

Bei der Anwendung der partiellen Integration müsste ja die Ableitung des Terms log(x+1) berechnet werden, wo aber hier 1/(x+1) rauskommt. Aber das würde doch nur für ln(x+1) gelten und nicht für log zur Basis 10?

Comments

Manchmal wird auch der natürliche Logarithmus mit log bezeichnet, musst Du mal in Deinen Unterlagen prüfen.

Answer 1

Aloha :)

Für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis \(b\) gilt:$$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$Daher könntest du das Problem durch einen Vorfaktor lösen:$$\int\limits_1^\infty\frac{\log(x+1)}{x^2}\,dx=\frac{1}{\ln(b)}\int\limits_1^\infty\frac{\ln(x+1)}{x^2}\,dx=\dots=\frac{1}{\ln(b)}\cdot\ln(4)=\log(4)$$

Answer 2

Der Ausruck \(\log x\) kann bedeuten

• Logarithmus von \(x\) zur Basis \(10\),
• natürlicher Logarithmus von \(x\),
• Logarithmus von \(x\) zu einer Basis die nicht wichtig ist,
• Logarithmus von \(x\) zu einer aus dem Zusammenhang ersichtlichen Basis.