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Doping im Sport
Das anabole Steroid Testosteron steigert die Sauerstofftransportkapazität des Blutes und führt zu deutlichen Leistungssteigerungen. Bei Dopingkontrollen wird die Testosteronkonzentration mit dem Normalwert \( \left(N_{0}=6 \frac{n g}{m l}\right) \) verglichen. Der Quotient aus gemessenem Testosteronwert und Normalwert darf den Wert 4 nicht überschreiten, ansonsten gilt der Körper als gedopt. Da jeder menschliche Körper das zusätzliche Testosteron mit der Zeit exponentiell mit unterschiedlichen Zerfallsfaktoren abbaut, sollten die Dopingproben nicht zu lange nach der Einnahme des Mittels erfolgen. Es werden immer zwei Proben entnommen, die A-Probe und die B-Probe.
Sehr häufig werden Anabolika unmittelbar vor einem Wettkampf eingenommen und die A-Probe unmittelbar nach dem Wettkampfende entnommen. Die B-Probe wird einige Zeit später entnommen.
Bei einem Triathleten werden folgende Werte ermittelt:
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline Zeit \( t[h] \) & A-Probe & B-Probe \\
\hline Testosteronwert \( \left[\frac{n g}{m l}\right] \) & 9 & 13 \\
\hline
\end{tabular}
1. (8 Punkte) Bestimme die Funktionsgleichung \( c(t)=N_{0}+A_{0} \cdot e^{t \cdot k} \) der Testosteronkonzentration im Blut in Abhängigkeit der Zeit nach der Einnahme des Steroids.
2. (4 Punkte) Ermittle die Halbwertzeit des Testosteronabbaus für den getesteten Triathleten.
3. (6 Punkte) Um die Einnahme des Dopingmittels zu verschleiern, kann die Einnahme auch einige Zeit vor Wettkampfbeginn geschehen. Die Wirkung ist dann zwar nicht mehr so groß, dafür sind die Ergebnisse der Proben negativ und der Sportler wird nicht bestraft. Berechne den Zeitpunkt vor Wettkampfbeginn, an dem das Dopingmittel verabreicht werden muss, um der Bestrafung zu entgehen.
4. (2 Punkte) Ein Testosteronwert von \( 240 \frac{\mathrm{ng}}{\mathrm{ml}} \) gilt als gesundheitsschädlich. Überprüfe, ob dieser Wert durch die Einnahme des Dopingmittels überschritten wird.
Viel Erfolg!
Aufgabe:
