orthogonal diagonalisierbare Matrix

Question

Aufgabe:

Sei ψ: ℝ³ → ℝ³ mit ψ(v) = Av. mit A∈M₃(ℝ) und sei B = (b_1, b_2, b_3) eine Basis des ℝ³.

Wobei sind b₁= \( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , b₂= \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \), b₃= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \).

Es sei (e₁, e₂, e₃) die kanonische Basis des ℝ3. Die Abbildung ψ sei festgelegt durch die Gleichungen:

ψ(b₁) = b₁

ψ(b₂) = 3b₂

ψ(b₃) = 3b₃

Problem/Ansatz:

Meine Frage warum ist A hier orthogonal diagonalisierbar? Sind b1, b2, b3 die Eigenvektoren von A? Warum?

Answer 1

Sind b1, b2, b3 die Eigenvektoren von A? Warum?

Eigenvektor von A ist ein v zu dem ein k existiert mit Av = kv

Und k ist dann der Eigenwert.

Wegen A*b1 = b1 = 1*b1 ist b1 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. etc.