Ich möchte die Konvergenz der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{\frac{1}{j^3}} \) zeigen.
Ich verwende hierfür das Cauchy Kriterium für Reihen und wollte nur wissen, ob mein Beweis in Ordnung ist.
Sei ε > 0 bel. Wähle N > 1/ε , dann gilt
∀ n ≥ N > 1/ε und ∀ k≥ 1 :
| 1/(n+1)^3 + 1/(n+2)^3 + ….. + 1/(n+k)^3|
= 1/(n+1)^3 + 1/(n+2)^3 + …. + 1/(n+k)^3
< 1/n^3 + 1/n^3 + ….. + 1/n^3 = 1/n^2 ≤ 1/n ≤ 1/N < ε
Danke!