Wie zeige ich die Konvergenz der Reihe 1/j^3?

Question

Ich möchte die Konvergenz der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{\frac{1}{j^3}} \) zeigen.

Ich verwende hierfür das Cauchy Kriterium für Reihen und wollte nur wissen, ob mein Beweis in Ordnung ist.

Sei ε > 0 bel. Wähle N > 1/ε , dann gilt

∀ n ≥ N > 1/ε und ∀ k≥ 1 :

| 1/(n+1)^3 + 1/(n+2)^3 + ….. + 1/(n+k)^3|

= 1/(n+1)^3 + 1/(n+2)^3 + …. + 1/(n+k)^3

< 1/n^3 + 1/n^3 + ….. + 1/n^3 = 1/n^2 ≤ 1/n ≤ 1/N < ε

Danke!

Comments

Ich kann Dein letztes = nicht nachvollziehen: Du hast doch k Summanfen, muss es dann nicht k/n^3 sein?

Answer 1

$$\sum_{j=n}^{n+k}\frac{1}{j^3}\leq \sum_{j=n}^{n+k}\frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j=n}^{n+k}(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j})=$$$$\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=}\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+k}\leq \frac{1}{n-1} ...$$

Comments

Ich kenne den Trick mit der Teleskopsumme, aber ich würde gerne meinen Ansatz verwenden. Kann man denn noch retten?

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Ich weiß nicht wie. Ich habe gedacht, dass es dir
auf das Cauchy-Kriterium ankommt, und genau das
habe ich benutzt.

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Primär wollte ich gerne einen eigenen Beweis machen. Was ergibt denn 1/n^3 + …… + 1/n^3?

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Das gibt \(k/n^3\). Da dies aber bei gewähltem n nicht beschränkt ist,
da k>0 beliebig sein soll, funktioniert es so nicht.

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Okay verstehe, aber warum sind es k/n^3?

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Es sind von \(n\) bis \(n+k\quad k+1\) Summanden, also ergibt das
in Wirklichkeit \((k+1)/n^3\), habe mich um 1 vertan;
dennoch ist dieser Ausdruck in Abhängigkeit von k unbeschränkt.

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Warum von n? Bei uns stand da j = n+1 bis n+k.

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Ich kann nicht wissen, was bei euch steht ...
Wenn du weiter darüber nachdenkst, wirst du bemerken,
dass das gar keine Rolle spielt:

Die Unbeschräktheit des Bruches bei beliebigem k
bleibt trotzdem bestehen.

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Bedeutet das, dass das für die Konvergenz nicht wichtig ist, ob n oder n + 1 weil es auf endlich viele Folgenglieder bei der Konvergenz nicht ankommt?

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Ja. So ist es :-)\(\;\;\;\;\)

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Vielen Dank!

Answer 2

Wohl eher so:

< 1/n3 + 1/n3 + ….. + 1/n3 = k/n^3

Und weil k≤n ist, gilt  !!! siehe Kommentar!!!

k/n^3 ≤ n/n^3 = 1/n2 ≤ 1/n ≤ 1/N < ε.

Comments

Warum soll \(k\leq n\) sein ?

Es muss doch \(\sum_{j=n}^{n+k}\frac{1}{j^3}\lt \epsilon\) sein für alle \(k\geq 0\).

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Ach ja, da habe ich nicht aufgepasst.