Quadratische Gleichung mit Bruchstrich (nach x auflösen)

Question

Aufgabe:

nach x auflösen (bitte mit Rechenweg)

^{(m+n): (2m-x) = x:(m-n)}

Problem/Ansatz:

Nach X mit Mitternachtsformel

Answer 1

Aloha :)

Auch hier, bitte lass die Finger weg von der pq-Formel, die macht es nur komplizierter.$$\left.\frac{m+n}{2m-x}=\frac{x}{m-n}\quad\right|\text{über Kreuz multiplizieren}$$$$\left.(m+n)(m-n)=x(2m-x)\quad\right|\text{links die 3-te bin. Formel nutzen, rechts ausmultiplizieren}$$$$\left.m^2-n^2=2mx-x^2\quad\right|+x^2$$$$\left.x^2+m^2-n^2=2mx\quad\right|-2mx$$$$\left.x^2-2mx+m^2-n^2=0\quad\right|+n^2$$$$\left.x^2-2mx+m^2=n^2\quad\right|\text{2-te bin. Formel links}$$$$\left.(x-m)^2=n^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-m=\pm\sqrt{n^2}=\pm|n|\quad\right|+m$$$$x_{1;2}=m\pm|n|$$Beachte bitte, dass \(n\ne n\) sein muss, damit die ursprüngliche Gleichung überhaupt definiert ist.

Comments

Du meinst:

m minus n ungleich 0.

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Ja genau, aus \(m\ne n\) folgt ja \(m-n\ne0\).

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Auch hier, bitte lass die Finger weg von der pq-Formel, die macht es nur komplizierter.

Echt jetzt?

Du selbst bist gekommen zu

\(x^2-2mx+m^2-n^2=0\)

Wenn man jetzt und sofort daraus mit der von dir verpönten pq-Formel auf

\(x_{1,2}=m\pm\sqrt{m^2-(m^2-n^2)} \) , also \(x_{1,2}=m\pm\sqrt{n^2)} \) kommt, ist das keinen Deut umständlicher.

Answer 2

(m+n): (2m-x) = x:(m-n)

Ich würde da einfach mal versuchen die Brüche weg zu bekommen und dann eben ausklammern, also:

(m+n): (2m-x) = x:(m-n)  | mal (2m-x) * (m-n)

<=>  (m+n)* (m-n) =  x * (2m-x)    | der linke Term ist 3. Binom; rechter Term kann ich ausklammern

<=>  m² - n²        = 2mx - x²           | jetzt weiß ich (m-x)²  = m²  - 2mx + x² : das addiere ich jetzt einfach mal

<=>  m² - n² + (m - x)² =  m²       | -m²

<=>  - n² + (m - x)² =  0

<=> ( m - x )² = n²     | Wurzel ziehen            (Achtung, Das ist jetzt keine Äquivalenzumformung mehr! )

=>    m - x = n

<=>   x   =  m - n

Comments

Und jetzt überlege mal, warum dir die zweite Lösung verloren gegagngen ist.

Answer 3

(m+n) / (2m-x) = x / (m-n) | * ( 2m- x )
( m + n ) = x / ( m - n ) * ( 2m - x )
x * ( 2m - x ) = ( m + n ) * ( m - n )
- x^2 + 2mx = m^2 - n^2 | * -1
x^2 - 2mx = - m^2 + n^2
x^2 - 2mx + m^2 = - m^2 + n^2 + m^2
( x- m ) ^2 = n^2 | √
x - m = ± n

x = m + n
und
x = m - n