Aufgabe:
(a) Lösen Sie das gekoppelte Differentialgleichungssystem \( \dot{\mathbf{x}}(t)=A \mathbf{x}(t) \mathrm{mit} \)
\( \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right), \quad \dot{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{array}\right) \)
und Anfangsbedingungen \( x_{1}(0)=0 \) und \( x_{2}(0)=1 \). Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Bestimmen Sie dazu zunächst die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren von \( A \).
(ii) Lösen Sie anschließend das entkoppelte Differentialgleichungssystem \( \dot{\mathbf{u}}(t)=D \mathbf{u}(t) \) für den transformierten Vektor \( \mathbf{u}=T^{-1} \mathbf{x} \). Hierbei ist \( T^{-1} \) die Matrix, welche vermöge \( D=T^{-1} A T \) die Matrix \( A \) diagonalisiert.
(iii) Transformieren Sie Ihre Lösung zurück auf den Vektor \( \mathbf{x}=T \mathbf{u} \) und legen Sie die freien Integrationskonstanten so fest, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.
(b) (3 Punkte) Lösen Sie das Differentialgleichungssystem \( \dot{\mathbf{x}}(t)=A \mathbf{x}(t) \mathrm{mit} \)
\( \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \)
\( \dot{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2}\end{array}\right) \)
\( A=\left(\begin{array}{ll} a & 1 \\ 0 & a \end{array}\right) \)
und \( a \in \mathbb{R} \).
Hinweis \( z u(b) \) : Ist \( A \) hier diagonalisierbar? Kann das DGL-System mithilfe der Exponentialmatrix \( \exp (A t) \) gelöst werden?
Problem/Ansatz:
Moin kann mir jemand bei der (b) helfen? Stehe irgendwie auf dem Schlauch und der Hinweis, hilft mir irgendwie nicht ganz weiter. Danke im voraus!
