Aus dem Kreisausschnitt wird ein Kegel geformt. Wie groß ist der Innenwinkel alpha?

Question

Aus dem Kreisausschnitt wird ein kegel geformt. Kreisausschnitt 240°/ Radius 6cm
Der Innenwinkel alpha an der Spitze des geformten Kegels soll berechnet werden.

Answer 1

Schöne Frage. :)

Wenn man den Kegel von der Seite her betrachtet, wird schnell klar, dass für den Winkel gilt:

sin(α/2)=s/r, wobei s die Länge der Mantellinie des Kegels und r der Radius der Grundfläche ist.

Wenn man den Kreisausschnitt zusammenrollt, wird der Radius des Kreises (R=6cm) zur Mantellinie, deren Größe kennen wir also schon.

Außerdem wird die Bogenlänge X des Kreisauschnittes zum Umfang der Grundfläche.

Für den Umfang des ganzen Kreises gilt
U = 2πR, für den zu bestimmenden Anteil X folgt dann mit dem Dreisatz:
X = U/360° * 240°
X=18*π cm

 

Das ist jetzt also der Umfang der Grundfläche des Kegels - um daraus ihren Radius zu bestimmen, wird wieder die Formel für den Umfang verwendet, diese Mal aber nach r umgestellt:
r = X/(2π)

r = 9 cm

=> sin(α/2) = 6cm / 9cm = 2/3

=> α/2 = 41,81°

α = 83,62°

Answer 2

Erst einmal muss man herausbekommen wie groß der Kreisbogen ist

b=2*π * r (α/360°) gegeben ist α=240° r=6cm

einsetzen in die Gleichung und man erhält für b≅25,1

Dies wäre dann der Umfang für die Basis des Kegel , nun kann die Kreisumfangs formel anwenden um den neuen Radiues zu berechnen:

25,1=2π*r nach r auflösen > r≅3,99999 > r≅4

und nun kann man mit dem Pythagoras die Höhe des Kegels berechnen a wäre 4cm und c ist dann 6cm

c²=a²+b²

36=16+b² >b²=20 b =√20 b≅ 4,48 Rundungsfehler vorbehalten.

jetzt noch den Sinussatz anwenden sinα=4,48/6 und man erhält den winkel.

Comments

Das ist aus zwei Gründen falsch.

1.) Die trigonometrische Funktion, die du am Ende brauchst, ist nicht der Sinus, sondern der Cosinus: du berechnest den Winkel an der unteren Fläche, gesucht ist aber der Winkel an der Spitze. Das b, das du ausrechnest, ist die Ankathete des Dreiecks, c die Hypotenuse, also ist b/c der Cosinus der Hälfte des Spitzenwinkels.
 

2.) Warum der Hälfte? Ganz einfach, der Spitzenwinkel ist natürlich der Winkel von einer Mantellinie zur nächsten, du rechnest allerdings mit dem Cosinus nur den Winkel von einer Mantellinie zur Kegelhöhe aus.

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Natürlich hast du recht , bei mir ist es der Winkel an der Basis und nicht in der Spitze.