Zeigen Sie, dass CD genau dann symmetrisch

Question

Aufgabe:

Seien C, D ∈ Rm,m symmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass CD genau dann symmetrisch
ist, wenn CD = DC gilt.

Problem/Ansatz:

Matritzen Bildung bekomme ich nicht hin ich weiß das ich zeigen soll das CD=DC ist

Comments

CD ist genau dann symmetrisch, wenn $(CD)^t = CD$.

Die linke Seite kann man jetzt umformen.

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haben Sie ein Beispiel für mich oder ähnliches

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https://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix#Produkt

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Dankeschön für die Hilfe

Answer 1

Der Tipp aus dem Kommentar ist doch schon fast die Lösung:

CD symmetrisch

<=>  $(CD)^t = CD$

Ein Produkt wird transponiert, indem man jeden Faktor einzeln transponiert

und die Reihenfolge vertauscht. Also ist das äquivalent zu

$D^t C^t = CD$

Nun sind aber C und D auch symmetrisch, also   $D^t = D$ und   $C^t = C$,

also ist die letzte Gleichung äquivalent zu

$DC= CD$    q.e.d.