Zielmenge eine lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Seien a<b ∈ ℝ und V := ([a,b] →ℝ).

U⊂V die Menge aller Funktionen  aus V, die auf dem offenen Intervall (a,b) differenzerbar sind und für die ƒ(a) = 0 gilt.

i) Sei L := ((ƒ_(a,b) )’)_ƒ∈V. Zeige, dass L:U→W für eine geeignete Zielmenge W eine lineare Abbildung ist.

ii) Zeige, dass L injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen oder die Aufgabe erklären. Selber komme ich nicht weiter.

Vielen Dank:)

Comments

Hallo,

wenn die Abbildung L die Differentiation bezeichnen soll, dann ist das Ergebnis wieder eine Funktion. Es bietet sich also an: W ist die Menge aller Abbildungen \(g:(a,b) \to \mathbb{R}\), \(L:V \to W\), \(Lf:=f_{(a,b)}'\) - also die Ableitung der Einschränkung von f auf (a,b) (so lese ich jedenfalls Deine Aufgabenstellung).

Um dann weiter zu kommen: Was ist die Definition eine linearen Abbildung in Eurer Notation, also: unter welcher Bedingung ist L linear?

Gruß Mathhilf