Erste Frage:
- Ist die Funktion gerade oder ungerade?
--> Die Funktion ist ungerade denn \(-f(x) = f(-x)\). Hier sind dann nur die \(b_k\)'s zu berechnen. Wir haben außerdem eine \(2\pi\) periodische Funktion daher folgender Ansatz:
$$ b_k = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) \cdot sin(nt) \, dt = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (t\pi -t^2) \cdot sin(nt) \, dt = -\dfrac{2{\pi}n\sin\left({\pi}n\right)+4\cos\left({\pi}n\right)-4}{{\pi}n^3}$$
Damit dann:
$$ f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} = b_k \cdot sin(k\cdot t) $$
Einmal als Beispiel die ersten zwei Harmonischen \(k = 2\):
$$ f(t) = \left(-\dfrac{2{\pi}\sin\left({\pi}\right)+4\cos\left({\pi}\right)-4}{{\pi}}\right)sin(t) + \left(-\dfrac{2{\pi}2\sin\left({\pi}2\right)+4\cos\left({\pi}2\right)-4}{{\pi}2^3}\right)sin(2t) $$
Und einmal als Plot:
~plot~ (-(2*pi*1*sin(pi*1)+4*cos(pi*1)-4)/(pi*1^3))*sin(1*x) + (-(2*pi*2*sin(pi*2)+4*cos(pi*2)-4)/(pi*2^3))*sin(2*x); x*pi-x*abs(x);[[-pi|pi|-4|4]] ~plot~
