Question

Berechnen Sie die Fourierreihe für $f:[-\pi, \pi]$ mit $f(t)=t(\pi-|t|)$. Skizzieren Sie zudem $f$.

Answer 1

Erste Frage:

- Ist die Funktion gerade oder ungerade?

--> Die Funktion ist ungerade denn $-f(x) = f(-x)$. Hier sind dann nur die $b_k$'s zu berechnen. Wir haben außerdem eine $2\pi$ periodische Funktion daher folgender Ansatz:

$$b_k = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) \cdot sin(nt) \, dt = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (t\pi -t^2) \cdot sin(nt) \, dt = -\dfrac{2{\pi}n\sin\left({\pi}n\right)+4\cos\left({\pi}n\right)-4}{{\pi}n^3}$$

Damit dann:

$$f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} = b_k \cdot sin(k\cdot t)$$

Einmal als Beispiel die ersten zwei Harmonischen $k = 2$:

$$f(t) = \left(-\dfrac{2{\pi}\sin\left({\pi}\right)+4\cos\left({\pi}\right)-4}{{\pi}}\right)sin(t) + \left(-\dfrac{2{\pi}2\sin\left({\pi}2\right)+4\cos\left({\pi}2\right)-4}{{\pi}2^3}\right)sin(2t)$$

Und einmal als Plot:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (-(2·π·1·sin(π·1)+4·cos(π·1)-4)/(π·1³))·sin(1·x)+(-(2·π·2·sin(π·2)+4·cos(π·2)-4)/(π·2³))·sin(2·x)f₂(x) = x·π-x·abs(x)Zoom: x(-3,141592653589793…3,141592653589793) y(-4…4)

Comments

Ach so, alles klar.

Vielen Dank!

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Kein Problem. Jetzt funktioniert auch endlich der Plot :)

Answer 2

Hallo

die Funktion ist punktsymmetrisch zu 0 also musst du nur die b_n bestimmen, einfach die Integrale nach Definition hinschreiben, bei Schwierigkeiten mit dem Integrieren hilft dir wolfram alpha oder integralrechner. de

Gruß lul

Comments

Ach so, danke dir.

Könntest du mir ein Integral mal als Beispiel hinschreiben?

Bin mir nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe.

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Hallo

die Integrale stehen n mal im Netz , warum soll ich sie zum n+1 ten mal aufschreiben? Notfalls schrei du und jemand korrigiert,

lul