Unendliche, verschachtelte Summe

Question

Aufgabe:

Hey, ich soll folgende Summe als Rationale Zahl ausdrücken:
$$ \sum \limits_{i=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}-\left(\sum \limits_{j=0}^{i}\left(\frac{1}{3}\right)^{j}\right)\right) $$

Problem/Ansatz:

Ich versuche seit Stunden auf eine Lösung zu kommen. Mir sind die geometrischen Reihen ein Begriff und diese sollen auch verwendet werden. Leider bekomme ich die Umformung nicht hin. Durch Probieren habe ich schon herausgefunden, dass der Grenzwert 1/4 beträgt, aber leider fehlt mir die Rechnung.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier hilft dir die geometrische Summenformel weiter:$$\sum\limits_{k=0}^n q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1$$

Damit formst du die hintere Summe um:$$\sum\limits_{j=0}^i\left(\frac13\right)^j=\frac{1-\left(\frac13\right)^{i+1}}{1-\frac13}=\frac{1-\left(\frac13\right)^{i+1}}{\frac23}=\frac32-\frac32\cdot\left(\frac13\right)^{i+1}$$

Dies setzt du nun ein:

$$S=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\frac32-\sum\limits_{j=0}^i\left(\frac13\right)^j\right)=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\frac32-\left(\frac32-\frac32\cdot\left(\frac13\right)^{i+1}\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^\infty\frac32\cdot\left(\frac13\right)^{i+1}$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{i=0}^\infty\frac32\cdot\left(\frac13\right)^{i+2}=\sum\limits_{i=0}^\infty\frac32\cdot\frac{1}{3^2}\left(\frac13\right)^{i}=\frac16\sum\limits_{i=0}^\infty\left(\frac13\right)^{i}$$

Jetzt verwenden wir nochmal die geometrische Summenformel von oben. Für \(|q|<1\) konvergiert diese nämlich und der Grenzwert lautet \(\frac{1}{1-q}\). Das bedeutet für uns:$$S=\frac16\cdot\frac{1}{1-\frac13}=\frac16\cdot\frac{1}{\frac23}=\frac16\cdot\frac32=\frac14$$

Comments

Vielen, vielen Dank, super erklärt!

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Wie kommst du in der 2. Zeile auf dein Ergebnis?

Diese Summe hat doch dem Wert 3/2.

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Wie kommst du in der 2. Zeile auf dein Ergebnis?

mit einfacher Bruchrechnung. Erweitere zunächst den Bruch mit 3:$$\phantom{=}\frac{1-\left(\frac13\right)^{i+1}}{\frac23}\\ = \frac{3-3 \cdot\left(\frac13\right)^{i+1}}{2}\\ =\frac32-\frac32\cdot\left(\frac13\right)^{i+1}$$

Diese Summe hat doch dem Wert 3/2.

Nö, die hängt von \(i\) ab. Das ist nur eine Partialsumme.

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Nö, die hängt von \(i\) ab. Das ist nur eine Partialsumme.

Kannst du mir das bitte näher erklären?
Die Klammern verwirren mich.

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@Gast2016: die innere Summe lautet doch$$\sum \limits_{j=0}^{\color{red}i}\left(\frac{1}{3}\right)^{j} $$die läuft von \(j=0\) bis \(j=i\). Und \( i \ne \infty\)

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Danke, Lesefehler meinerseits.

Answer 2

∑ (1/3)^j = 1/(1-1/3) = 3/2

->Summe =  ???

Answer 3

Zu berechnen ist ja \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{2}-\sum \limits_{j=0}^{i} \left(\frac{1}{3} \right)^{j} \right] \)

$$ \sum \limits_{j=0}^{i} \left(\frac{1}{3} \right)^j = \frac{3}{2} - \frac{ \left( \frac{1}{3} \right)^i }{2} $$

Somit muss noch $$ \sum_{i=1}^\infty \frac{ \left( \frac{1}{3} \right)^i }{2} $$ berechnet werden. Und das ergibt nach der geometrischen Reihe $$ \sum_{i=1}^\infty \frac{ \left( \frac{1}{3} \right)^i }{2} = \frac{1}{4} $$